Equation de conservation de la charge

Cas général

Soit un volume \(\mathfrak{V}\) délimité par une surface fermée \(\circledS\).

La charge totale \(Q(t)\) à l'intérieur de \(\circledS\) varie dans le temps et on suppose que cette variation ne peut être attribuée qu'à des échanges de charges avec l'extérieur, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun centre de production ou de disparition de charges en différents points de \(\mathcal{V}\).

Soit \(\rho (M,t)\) la densité volumique de charge à l'intérieur de \(\mathfrak{ S}\).

En raison du principe de conservation de la charge, comme il n'y a ni production ni disparition de charges dans \(\mathfrak{V}\) durant un intervalle de temps \(\mathrm d t\) , la variation \(\mathrm d \mathfrak Q\) de la charge  \( \mathfrak Q( t)\) intérieure à \(\circledS \)est telle que : \(\mathrm d \mathfrak Q = - \mathrm d \mathfrak Q_m\)

\(\mathrm d\mathfrak Q_m\) désignant la charge mobile qui à traversé la surface \(\circledS\) pendant cette durée \(\mathrm d t\).

Comme  \(I = \frac {\mathrm d \mathfrak Q_m} {\mathrm d t} = \oiint_\mathfrak S \vec J . \overrightarrow{\mathrm d \mathfrak S}\), on a \(I = -\frac {\mathrm d \mathfrak Q}{\mathrm d t} = \oiint_\mathfrak S \vec J . \overrightarrow{\mathrm d \mathfrak S}\).

La charge contenue à l'intérieur de \(\mathfrak S\) étant égale à \(\mathfrak Q(t) = \iiint_{\mathfrak{V}} \rho (M,t)\mathrm d \mathfrak{V}\),

on obtient :

\(\frac{\mathrm d \mathfrak Q}{\mathrm d t} =\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \iiint_{\mathfrak{V}} \rho (M,t)\mathrm d \mathfrak{V}= \iiint_{\mathfrak{V}} \frac {\partial \rho (M,t)}{\partial t}\mathrm d\mathfrak{V} = - I = - \oiint_\mathfrak{S} \vec J . \overrightarrow {\mathrm d \mathfrak{S}}\)

La relation \(\oiint_\mathfrak{S} \vec J . \overrightarrow {\mathrm d \mathfrak{S}} = - \iiint_\mathfrak{V} \frac {\partial \rho (M,t)}{\partial t} \mathrm d\mathfrak{V}\) est la forme intégrale de l'équation de conservation de la charge.

Avec le théorème de la divergence[1] on a :

\(\oiint_\mathfrak{S} \vec J .\overrightarrow {\mathrm{d}\mathfrak{S}} = \iiint_\mathfrak{V}\mathrm{div} \vec J \mathrm{d}\mathfrak{V} = - \iiint_\mathfrak{V} \frac{ \partial \rho }{\partial t}\mathrm{d}\mathfrak{V}\)

La relation \(\mathrm{div} \vec J(M,t) = - \frac{ \partial\rho(M,t) }{\partial t}\) est la forme locale de l'équation de conservation de la charge.

Cas des régimes stationnaires

  • Toutes les grandeurs sont alors indépendantes du temps et les équations de conservation de la charge s'écrivent : \(\oiint_\mathcal{S} \vec J . \overrightarrow{\mathrm{d} \mathcal{S}} = 0\) et \(\mathrm{div}\vec J(M) = 0\)

ComplémentPhénomène stationnaire

Un phénomène stationnaire est caractérisé par des grandeurs indépendantes du temps.

Conséquences

Considérons une surface fermée \(\circledS\) constituée par une portion de conducteur limitée par les sections \(\mathfrak{S}_1\) et \(\mathfrak{S}_2\)

Puisque les charges ne peuvent sortir, le vecteur \(\vec J\) est tangent à la surface latérale \(\mathfrak{S}_\mathrm{lat}\) du conducteur.

La conservation de la charge s'écrit :

\(\oiint_\mathfrak{S}\vec{J}.\vec{\mathrm{d}\mathfrak{S}}=0=\iint_{\mathfrak{S}_1}\vec{J_1}.\vec{\mathrm{d}\mathfrak{S}}_1+\iint_{\mathfrak{S}_2}\vec{J_2}. \vec{\mathrm{d}\mathfrak{S}_2}+\iint_{\mathfrak{S}_{\mathrm{lat}}}\vec{J_\mathrm{lat}}.\overrightarrow{\mathrm{d}\mathfrak{S}_\mathrm{lat}}\).

Le flux à travers la surface latérale étant nul puisque \(\vec J_\mathrm{lat}\) et \(\vec{\mathrm{d}\mathfrak{S}_\mathrm{lat}}\) sont orthogonaux, il vient :

\(\oiint_\mathfrak{S} \vec J . \vec{\mathrm{d}\mathfrak{S}} = \iint_{\mathfrak{S}_1}\vec J_1 .\overrightarrow{\mathrm{d}\mathfrak{S}_1} + \iint_{\mathfrak{S}_2}\vec J_2 . \overrightarrow{\mathrm{d}\mathfrak{S}}_2 = -I_1 + I_2 = 0\),

soit \(I_1 = I_2 = I\) : l'intensité est la même dans toutes les sections d'un conducteur en régime stationnaire c'est-à-dire en courant continu.

La relation précédente montre que, dans un conducteur de section constante, J garde toujours la même valeur.