Représentation mathématique de notions physiques

Les mathématiciens préfèrent penser que c'est parce que l'ensemble des vecteurs de l'espace a cette structure qu'un de ses éléments est appelé vecteur ; c'est aussi ce qui le rend plus intéressant que les bipoints.

\(\mathbf{R}\) est l'ensemble des nombres réels , \(\mathbf{E}\) est un ensemble muni de deux lois :

• l'addition (opération interne) : \((\vec{u},\vec{v})\in \mathbf{E} \times \mathbf{E} \longrightarrow \vec{u}+\vec{v}\in \mathbf{E}\)

• la multiplication (opération externe) : \((\vec{u},\alpha)\in \mathbf{E} \times \mathbf{R} \longrightarrow \alpha \vec{u}\in \mathbf{E}\)

  Le vecteur \(\alpha\vec{u}\) est dit colinéaire à \(\vec{u}\).

Ces deux opérations - interne et externe - font de E un R -ESPACE VECTORIEL parce que :

• l'opération interne donne à E une structure de GROUPE COMMUTATIF :

  • Addition

    associativité : \(\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}\)

    \(\vec0\) est l'élément neutre de l'addition : \(\vec 0+\vec{v}=\vec{v}+\vec 0=\vec{v}\)

    tout vecteur \(\vec{u}\) admet un symétrique (ou opposé) \(\vec{u'}\) : \(\vec{u}+\vec{u'}=\vec{u'}+\vec{u}=\vec 0\) (à vérifier)

    commutativité : \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\)

• les deux opérations vérifient les propriétés suivantes

  • Addition et Multiplication par un scalaire

    1 est l'élément neutre de la multiplication : \(1\vec{u}=\vec{u}\)

    associativité : \(a.(b\vec{u})=(a.b)\vec{u}\)

    distributivité par rapport à l'addition des vecteurs : \(a.(\vec{u}+\vec{v})=a.\vec{u}+a.\vec v\)

    distributivité par rapport à l'addition des scalaires : \((a+b).\vec{u}=a.\vec{u}+b.\vec{u}\)