Représentation mathématique de notions physiques

La structure Euclidienne organise les notions géométriques habituelles de longueur, de distance, d'angle, d'orthogonalité, de symétrie orthogonale, de rotation ...

Elle consiste à définir l'opération produit scalaire dans un espace vectoriel E. Dans notre espace on définit aussi une orientation.

Soit l'espace pointé $E_O$ dans lequel on représente $\vec{u}$ par un bipoint $\overrightarrow{OM}$ et $\vec v$ par un bipoint $\overrightarrow{ON}$; $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})$ représente l'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{OM}\textrm{ et }\overrightarrow{ON}$.

• Produit scalaire et norme :

  • Produit scalaire : Définition intrinsèque : $\vec u.\vec v=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} = \Vert\overrightarrow{OM}\Vert.\Vert\overrightarrow{ON}\Vert\cos(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})$

  • Norme : $\Vert\overrightarrow{OM}\Vert²=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OM}$

  • Orthogonalité : $\vec u.\vec v\Leftrightarrow\vec u.\vec v=0$

  • Repère orthonormé : $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ tel que $\vec i.\vec i=\vec j.\vec j=\vec k.\vec k=l$ et $\vec i.\vec j=\vec j.\vec k=\vec k.\vec i=0$

    $\vec i,\vec j,\vec k$ forment une base orthonormée de l'espace des vecteurs.

• Orientation :

  On définit l'orientation de l'espace A en choisissant un trièdre de référence $\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{Oy}, \overrightarrow{Oz}$, où les trois vecteurs sont linéairement indépendants (non coplanaires).

  Tout trièdre est alors soit :

  • de même sens que $\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{Oy}, \overrightarrow{Oz}$ : c'est le sens direct.

  • soit de sens contraire: sens indirect ou rétrograde.

  C'est l'ordre des vecteurs dans le trièdre qui caractérise son orientation, qui définit son sens. Le sens n'est pas modifié si on permute circulairement les 3 vecteurs.

  Il est modifié par toute autre permutation.

  Par exemple : $\overrightarrow{Oj}, \overrightarrow{Ok}, \overrightarrow{Oi}$, est de sens direct, et $\overrightarrow{Oj}, \overrightarrow{Oi}, \overrightarrow{Ok}$ est de sens contraire à celui de $\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{Oy}, \overrightarrow{Oz}$.