Coordonnées sphériques

La base \((\overrightarrow{u_r},\overrightarrow{u_\theta}, \overrightarrow{u_\Phi})\) et les coordonnées \((r, \theta, \Phi)\) sont définies ci-dessous :

  • Le point \(M\) est repéré par ses coordonnées sphériques :

    • \(r = OM\) toujours positif,

    • \(\theta =(\overrightarrow{OZ}, \overrightarrow{OM})\)

    • \(\Phi=(\overrightarrow{OX}, \overrightarrow{Om})\)

  • Dans la base sphérique \((\overrightarrow{u_r},\overrightarrow{u_\theta}, \overrightarrow{u_\Phi})\), le vecteur position s'écrit \(\overrightarrow{OM}=r\overrightarrow{u_r}\).

Coordonnées sphériques

  • La ligne coordonnée associée à \(r\) est la droite \(OM\) dont la direction varie avec \(M\).

  • La ligne coordonnée associée à \(\theta\) est le cercle de centre \(O\), de rayon \(OM\) dans le plan \((OM,OZ)\).

  • La ligne coordonnée associée à \(\Phi\) est le cercle de centre \(C\), de rayon \(CM\) dans le plan \((XOY)\).

L'animation ci-dessous montre le repérage sphérique : la base et les coordonnées d'un point

Le repérage sphérique

L'animation ci-dessous montre l'ensemble du repérage sphérique : de la base, des coordonnées et de leurs accroissements élémentaires

Vecteur élémentaire en coordonnées sphériques

Les vecteurs de base, indiqués sur la figure, forment une base orthonormée directe et cette base, dépendante de \(M\), est locale.

Le vecteur position s'exprime dans la base sphérique : \(\overrightarrow{OM}=r\overrightarrow{u_r}\).

Remarque

Il n'a pas de composante selon \(\overrightarrow{u_\theta}\) et \(\overrightarrow{u_\Phi}\).

La rotation du cercle de centre \(O\), de rayon \(r\) engendre une sphère.

Les relations entre coordonnées cartésiennes et coordonnées sphériques de \(M\) s'obtiennent à partir de considérations géométriques :

  • \(x = r \sin \theta \cos \Phi\)

  • \(y = r \sin \theta \sin \Phi\)

  • \(z = r \cos \theta\)