Association de systèmes centrés : foyer objet
Partie
Question
Soient \(H, F\), le point principal objet et le foyer principal objet d'une association \((S)\) de deux systèmes centrés \((S_1)\) et \((S_2)\) :
Déterminer la distance algébrique du point principal objet \(H\) au foyer objet \(F_1\) du premier système.
Vérifier que la distance algébrique \(\overline{F_1F}\), du foyer objet d'une association de deux systèmes centrés (1) et (2), au foyer objet \(F_1\) du premier système ne dépend que de trois paramètres.
Préciser ces paramètres et leur relation avec \(\overline{F_1F}\).
Appliquer l'équation de Newton au premier système
Aide simple
Etudier le statut particulier des foyers \(F'_1\) et \(F_2\) à l'aide du schéma ci-dessus.
Aide détaillée
Par définition, les rayons incidents qui passent par \(F\) émergent de l'association des systèmes (1) et (2) parallèlement à l'axe. Ils émergent donc de (1) en passant par \(F_2\) le foyer objet de \(L_2\).
Rappel de cours
Relation de Lagrange-Helmholtz entre l'objet \(AB\) et son image \(A'B'\) :
\(n\overline{AB}u=n'\overline{A'B'}u'\)
Les plans principaux sont deux plans de front conjugués : le plan principal objet et le plan principal image pour lesquels le grandissement linéaire (ou transversal) est égal à +1.
Relation entre les distances focales objet \(f\) et image \(f'\) :
\(\frac{f'}{f}=-\frac{n'}n\)
La vergence d'un système centré sera défini par :
\(V=\frac{n'}{f'}=-\frac nf\)
Construction de l'image d'un objet plan. On utilisera 2 rayons particuliers :
l'un issu de \(B\) et parallèle à l'axe optique : il émerge après le plan principal image en passant par le foyer image \(F'\)
l'autre issu de \(B\) et passant par le foyer objet \(F\) : il émerge après le plan principal image, parallèle à l'axe optique
Construction de l'émergent correspondant à un incident quelconque. On utilisera les mêmes rayons particuliers que ceux qui ont servi à construire l'image d'un objet \(AB\).
Formules de conjugaison :
Origine aux points principaux :
si : \(\overline{HA}=p\) et \(\overline{H'A'}=p'\) : \(\frac fp+\frac{f'}{p'}=1\) \(\frac{n'}{p'}-\frac np=\frac{n'}{f'}=C\) avec C vergence du système.
Origine aux foyers: formules de Newton :
si \(\overline{FA}=x\) et \(\overline{F'A'}=x'\) : \(\begin{array}{l}x\cdot x'=f\cdot f'\\\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=-\frac fx=-\frac{x'}{f'}\end{array}\)
grandissement angulaire : \(G=\frac{u'}u=\frac n{n'}\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}\)
produit du grandissement linéaire par le grandissement angulaire : \(\gamma\cdot G=\frac n{n'}\)
Les plans antiprincipaux sont deux plans conjugués entre lesquels le grandissement est égal à -1. Ce sont les symétriques des plans principaux par rapport aux foyers correspondants (de même pour les plans antiprincipaux).
Les points nodaux \(N\) et \(N'\) sont deux points conjugués, situés sur l'axe, et tels qu'à tout rayon incident passant par le point nodal objet, corresponde un rayon émergent passant par le point nodal image et parallèle au rayon incident.
Les éléments cardinaux d'un système centré comportent: les foyers, les points principaux et antiprincipaux, les points nodaux et antinodaux.
Lorsque pour un système centré donné on connaît deux couples d'éléments cardinaux ou un couple et une distance focale alors le système centré est parfaitement défini.
Solution détaillée
\(F\) est le point objet dont l'image par le premier système est en \(F_2\). En appliquant l'équation de Newton au premier système, l'on a :
\(\overline{F_1F}\cdot\overline{F'_1F_2}=f_1\cdot f'_1\) soit \(\overline{F_1F}=\frac{f_1\cdot f'_1}{\overline{F'_1F_2}}=\frac{f_1\cdot f'_1}\Delta\)
La distance algébrique \(F'_1F_2\), appelée intervalle optique, et les distances focales objet \(f_1\) et image \(f'_1\) du système centré constituent les trois paramètres dont dépend la distance algébrique du foyer objet \(F\) du système au foyer objet \(F_1\) du système d'entrée.
La distance entre le foyer \(F\) du système global \((S)\) et le foyer objet \(F_1\) de son premier système composant, a un module proportionnel au produit des distances focales de ce premier système constitutif et inversement proportionnel à la distance entre le foyer image du système d'entrée et le foyer objet du deuxième sous système.