Foyers
Partie
Question
On considère le système centré dioptrique (sans miroir), schématisé ci-dessous, par ses dioptres sphériques d'entrée (D.E.) et de sortie (D.S.). Les plans (P) et (P') sont supposés être les plans principaux de ce système.
Rappeler la définition d'un foyer principal.
Illustrer l'existence générale de deux foyers que l'on positionnera arbitrairement sur l'axe.
Où se forme l'image d'un point situé à l'infini
Aide simple
Le foyer principal est un point de l'axe.
Rappel de cours
Relation de Lagrange-Helmholtz entre l'objet \(AB\) et son image \(A'B'\) :
\(n\overline{AB}u=n'\overline{A'B'}u'\)
Les plans principaux sont deux plans de front conjugués : le plan principal objet et le plan principal image pour lesquels le grandissement linéaire (ou transversal) est égal à +1.
Relation entre les distances focales objet \(f\) et image \(f'\) :
\(\frac{f'}{f}=-\frac{n'}n\)
La vergence d'un système centré sera défini par :
\(V=\frac{n'}{f'}=-\frac nf\)
Construction de l'image d'un objet plan. On utilisera 2 rayons particuliers :
l'un issu de \(B\) et parallèle à l'axe optique : il émerge après le plan principal image en passant par le foyer image \(F'\)
l'autre issu de \(B\) et passant par le foyer objet \(F\) : il émerge après le plan principal image, parallèle à l'axe optique
Construction de l'émergent correspondant à un incident quelconque. On utilisera les mêmes rayons particuliers que ceux qui ont servi à construire l'image d'un objet \(AB\).
Formules de conjugaison :
Origine aux points principaux :
si : \(\overline{HA}=p\) et \(\overline{H'A'}=p'\) : \(\frac fp+\frac{f'}{p'}=1\) \(\frac{n'}{p'}-\frac np=\frac{n'}{f'}=C\) avec C vergence du système.
Origine aux foyers: formules de Newton :
si \(\overline{FA}=x\) et \(\overline{F'A'}=x'\) : \(\begin{array}{l}x\cdot x'=f\cdot f'\\\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=-\frac fx=-\frac{x'}{f'}\end{array}\)
grandissement angulaire : \(G=\frac{u'}u=\frac n{n'}\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}\)
produit du grandissement linéaire par le grandissement angulaire : \(\gamma\cdot G=\frac n{n'}\)
Les plans antiprincipaux sont deux plans conjugués entre lesquels le grandissement est égal à -1. Ce sont les symétriques des plans principaux par rapport aux foyers correspondants (de même pour les plans antiprincipaux).
Les points nodaux \(N\) et \(N'\) sont deux points conjugués, situés sur l'axe, et tels qu'à tout rayon incident passant par le point nodal objet, corresponde un rayon émergent passant par le point nodal image et parallèle au rayon incident.
Les éléments cardinaux d'un système centré comportent: les foyers, les points principaux et antiprincipaux, les points nodaux et antinodaux.
Lorsque pour un système centré donné on connaît deux couples d'éléments cardinaux ou un couple et une distance focale alors le système centré est parfaitement défini.
Solution détaillée
Un foyer principal est un point de l'axe dont le point conjugué est à l'infini.
Il existe un foyer principal objet \(F\) dont le conjugué est à l'infini sur l'axe et un foyer principal image \(F'\) qui est le conjugué d'un point de l'axe infiniment éloigné. (Les foyers \(F\) et \(F'\) sont souvent désignés par \(F_1\) et \(F_2\)).
