Plans principaux
Partie
Question
On considère le système centré dioptrique ci-dessous. \(L_1\), \(L_2\) sont des lentilles minces identiques de foyers respectifs \((F_1, F'_1)\), \((F_2, F'_2)\).
Faire apparaître par construction les positions du plan principal image et du foyer image.
Positionner par symétrie le plan principal objet, le foyer objet.
Utiliser un rayon incident parallèle à l'axe.
Aide simple
Le plan principal image est le lieu des intersections des directions des rayons incidents parallèles à l'axe avec les directions des rayons transmis correspondants.
Le foyer principal image est l'image d'un point de l'axe infiniment éloigné.
Rappel de cours
Relation de Lagrange-Helmholtz entre l'objet \(AB\) et son image \(A'B'\) :
\(n\overline{AB}u=n'\overline{A'B'}u'\)
Les plans principaux sont deux plans de front conjugués : le plan principal objet et le plan principal image pour lesquels le grandissement linéaire (ou transversal) est égal à +1.
Relation entre les distances focales objet \(f\) et image \(f'\) :
\(\frac{f'}{f}=-\frac{n'}n\)
La vergence d'un système centré sera défini par :
\(V=\frac{n'}{f'}=-\frac nf\)
Construction de l'image d'un objet plan. On utilisera 2 rayons particuliers :
l'un issu de \(B\) et parallèle à l'axe optique : il émerge après le plan principal image en passant par le foyer image \(F'\)
l'autre issu de \(B\) et passant par le foyer objet \(F\) : il émerge après le plan principal image, parallèle à l'axe optique
Construction de l'émergent correspondant à un incident quelconque. On utilisera les mêmes rayons particuliers que ceux qui ont servi à construire l'image d'un objet \(AB\).
Formules de conjugaison :
Origine aux points principaux :
si : \(\overline{HA}=p\) et \(\overline{H'A'}=p'\) : \(\frac fp+\frac{f'}{p'}=1\) \(\frac{n'}{p'}-\frac np=\frac{n'}{f'}=C\) avec C vergence du système.
Origine aux foyers: formules de Newton :
si \(\overline{FA}=x\) et \(\overline{F'A'}=x'\) : \(\begin{array}{l}x\cdot x'=f\cdot f'\\\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=-\frac fx=-\frac{x'}{f'}\end{array}\)
grandissement angulaire : \(G=\frac{u'}u=\frac n{n'}\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}\)
produit du grandissement linéaire par le grandissement angulaire : \(\gamma\cdot G=\frac n{n'}\)
Les plans antiprincipaux sont deux plans conjugués entre lesquels le grandissement est égal à -1. Ce sont les symétriques des plans principaux par rapport aux foyers correspondants (de même pour les plans antiprincipaux).
Les points nodaux \(N\) et \(N'\) sont deux points conjugués, situés sur l'axe, et tels qu'à tout rayon incident passant par le point nodal objet, corresponde un rayon émergent passant par le point nodal image et parallèle au rayon incident.
Les éléments cardinaux d'un système centré comportent: les foyers, les points principaux et antiprincipaux, les points nodaux et antinodaux.
Lorsque pour un système centré donné on connaît deux couples d'éléments cardinaux ou un couple et une distance focale alors le système centré est parfaitement défini.
Solution détaillée
Le rayon émergent, correspondant à un rayon incident parallèle à l'axe (issu d'un point \(A\) infiniment éloigné), coupe :
l'axe au foyer image \(F'\) de ce système ;
la droite support du rayon incident en un point à même distance de l'axe que le point objet c'est-à-dire appartenant au plan principal image \((P')\).
Le point \(F'\) est l'image par \((L_2)\) de \(F'_1\).
Pour la figure :
\(F\) symétrique par rapport à \(O\) de \(F'\)
\(H\) symétrique par rapport à \(O\) de \(H'\)
\(O\) est centre de symétrie du système et de la figure.
\(O_2\) est centre de la lentille \(L_2\).