Diamètre apparent

Partie

Question

Un épicéa, une voiture, un tube correcteur de hauteurs respectives \(H_1, H_2, H_3\), sont debout dans un même plan horizontal, sur l'axe de l’œil d'un observateur.

  1. Le centre optique de l'œil est à 17 mm de la rétine, l'épicéa situé à \(D_1 = 1000 \textrm m\) de l’œil. L'image rétinienne de l'épicéa est \(h_{r1} = 0,34 \textrm{mm}\). Quelle est la hauteur de l'arbre ?

  2. La voiture a une hauteur \(H_2 = 1,34 \textrm m\) et même hauteur d'image rétinienne que l'arbre. A quelle distance se situe-t-elle de l’œil ? Quel est le paramètre commun à l'arbre et la voiture ?

  3. Le tube correcteur est à 0,5 m de l’œil, sa hauteur est de 10 cm. Quelle est la hauteur de son image rétinienne ?

  4. Conclure.

Représenter l'œil de l'observateur par un œil réduit

Aide simple

Illustrer les données de l'énoncé.

Aide détaillée
Rappel de cours

  • L'ensemble formé par le cristallin et les autres milieux transparents de l’œil se comporte comme une lentille convergente dont le foyer principal F est situé sur la rétine; la distance focale est de 15 mm.

  • L'image des objets très éloignés se forme dans le plan focal, c'est-à-dire pratiquement sur la rétine.

  • Lorsque l'objet se rapproche de l'œil, le cristallin se déforme et devient plus convergent de manière que l'image nette se forme toujours sur la rétine : cette mise au point automatique s'appelle l'accommodation. Il existe une distance minimum de vision distincte en dessous de laquelle l'œil ne peut plus voir nettement l'objet.

  • Pour mieux percevoir les détails d'un objet on le rapproche de l'œil. On augmente ainsi son diamètre apparent qui est l'angle sous lequel l'œil voit l'objet.

  • Le pouvoir séparateur de l’œil (ou acuité visuelle) est la valeur minimum de l'angle sous lequel deux points peuvent être vus séparément. ( cet angle vaut environ 3/10 000 de radian soit 1 minute d'angle)

  • Les principaux défauts de l’œil sont :

    • myopie : le cristallin est trop convergent (correction par des verres divergents)

    • hypermétropie : le cristallin n'est pas assez convergent (correction par des verres convergents)

    • presbytie : le cristallin (personnes âgées) perd progressivement de sa souplesse et le minimum de vision distincte augmente avec l'age (correction par des verres convergents pour l'observation des objets rapprochés)

Solution détaillée

1) Hauteur \(H_1\) de l'arbre

\(\tan\theta_1=\frac{H_1}{D_1}=\frac{h_{r1}}dH_1=\frac{D_1}d\cdot h_{r1}=1000\textrm m\cdot\left(\frac{0,34\textrm{mm}}{17\textrm{mm}}\right)=20\textrm m\)

\(H_1=20\textrm m\)

2) Distance \(D_2\) de la voiture à l'œil

\(\tan\theta_1=\tan\theta_2=\frac{H_2}{D_2}=\frac{h_{r2}}dD_2=\frac d{h_{r2}}\cdot H_2=\left(\frac{17\textrm{mm}}{0,34\textrm{mm}}\right)\cdot1,34\textrm m=67\textrm m\)

\(D_2=67\textrm m\)

L'arbre et la voiture ont le même diamètre apparent : \(q_2 = q_1\).

3) Hauteur \(H_3\) de l'image du tube correcteur

\(\tan\theta_3=\frac{H_3}{D_3}=\frac{h_{r3}}dh_{r3}=\frac dD\cdot H_3=\left(\frac{17\textrm{mm}}{500\textrm{mm}}\right).100\textrm{mm}\quad3,4\textrm{mm}\)

\(h_{r3}=3,4\textrm{mm}\)

4) La dimension de l'image rétinienne est toujours proportionnelle à la taille de l'objet et inversement proportionnelle à la distance d'observation.

Ces deux paramètres peuvent être remplacés par un seul paramètre : le diamètre apparent de l'objet \(\theta=\frac HD\). Malgré la distance réduite, l'image rétinienne du tube de 10 cm est plus haute que celle de l'épicéa de 20 mètres car son diamètre apparent est supérieur à celui de l'arbre.