Latitude de mise au point
Partie
Question
En microscopie, lorsque la mise au point est effectuée, la pratique montre qu'un très petit déplacement de la colonne du microscope, entraîne une disparition de la netteté d'image.
Cette propriété est utilisée dans les viseurs optique qui permettent de localiser, avec plus ou moins de précision, un petit objet plan sans action mécanique de contact avec l'objet.
Quelle doit être la distance focale image \(f '\), du viseur \(V\), pour que l'incertitude sur la coordonnée de l'objet visé ne dépasse pas 1 mm puis 0,1 mm ? L'accommodation A de l'utilisateur est supposée égale à 5 dioptries.
Pour simplifier l'étude, le viseur pourra être assimilé à une lentille mince.
\(P_1\) : Plan de l'objet visé.
Utiliser la latitude de mise au point.
Aide simple
Le viseur peut se déplacer devant l'objet TANT QUE son image reste entre le remotum \(R\) et le proximum \(P\) de l'oeil de l'observateur. Ce déplacement est égal à la latitude de mise au point \(Dl = A.f '^2\).
On pourra désigner par \(d\) et \(D\) les distances minimales et maximales de vision distincte. On posera \(|\overline{F'C}|=a<d\) où \(F'\) est le foyer image du viseur et \(C\) le centre du dioptre unique équivalent à l'œil. Pour un œil emmétrope, l'image observée doit être virtuelle, ce qui entraîne que l'objet \("O"\) doit être au delà du foyer \(F\) du viseur.
Pour simplifier l'illustration, nous avons choisi un remotum \(R\) à distance finie et désigné par \(F_R,\) la position du foyer objet du viseur lorsque l'image de l'objet est au remotum, et par \(F_P,\) ce même foyer lorsque l'image de l'objet , par le viseur, est au proximum \(P\) de l'oeil.
Aide détaillée
Le déplacement \(DX_V\) du viseur par rapport à l'objet est identique au déplacement de son foyer objet \(F\) par rapport à l'objet. Lorsque l'image de l'objet observé se déplace du remotum \(R\) au proximum \(P\), de l'oeil, le déplacement \(DX_V = F_PF_R\) du foyer objet \(F\) du viseur vaut :
\(\overline{F_PF_R}=\overline{F_PO}+\overline{OF_R}=\overline{F_PO}-\overline{F_RO}\)
Les positions algébriques \(\overline{F_PO}\) et \(\overline{F_RO}\), de l'objet, peuvent être déduit de l'équation de Newton.
Légende figures :
R = remotum
P = proximum
Rappel de cours
Un microscope permet d'observer les petits objets sous un angle plus grand qu'à l'œil nu.
Il se compose de deux systèmes de lentilles convergentes: l'objectif et l'oculaire.
L'objectif donne une image agrandie de l'objet, image qui est observée avec l'oculaire jouant le rôle de loupe.
Le grossissement d'un microscope se définit comme celui de la loupe : c'est le rapport entre l'angle \(\alpha'\) sous lequel on voit l'image de l'objet à travers la loupe et l'angle \(\alpha\) sous lequel on voit l'objet à l'oeil nu à la distance minimum de vision distincte : \(G=\frac{\alpha'}\alpha\)
Solution détaillée
Objet en \(O\), image \(I\) au remotum \(R\) : \(\overline{F_RO}\cdot\overline{F'I}=-f'^2\quad\overline{F_RO}=\frac{-f'^2}{\overline{F'R}}=\frac{f'^2}{D-a}\)
Objet en \(O\), image \(I\) au proximum \(P\) : \(\overline{F_PO}\cdot\overline{F'I}=-f'^2\quad\overline{F_PO}=\frac{-f'^2}{\overline{F'P}}=\frac{f'^2}{d-a}\)
soit \(\displaystyle{\begin{array}{llll}\Delta X_v=\Delta X_F=|\overline{F_{P}F_{R}}|&=&{f'}^{2}\cdot&\bigg(\frac{1}{d-a}-\frac{1}{D-a}\bigg)\\&\#&{f'}^2\cdot&\bigg(\frac{1}{d}-\frac{1}{D}\bigg)\end{array}}\)
\(\frac1d-\frac1D\) est l'amplitude d'accommodation \(A\), soit \(\Delta X_v=f'^2.A\).
Donc \(|f'|=\sqrt{\frac{\Delta X_v}A}\) d'où la distance focale image \(f '\) que doit posséder le viseur pour une incertitude \(DX_v\) donnée :
\(DX_V = 1 \textrm{mm}\quad f'=\left(\frac{10^{-3}\textrm m}{5\textrm m^{-1}}\right)^{1/2}=1,4\cdot10^{-2}\textrm{m\`etre}=1,4\textrm{cm}\)
\(DX_V = 0,1 \textrm{mm}\quad f'=\left(\frac{10^{-4}\textrm m}{5\textrm m^{-1}}\right)^{1/2}=4,47\cdot10^{-3}\textrm{m\`etre}=4,47\textrm{mm}\)
Légende figures :
R = remotum
P = proximum
Commentaire :
On a utilisé les symboles \(F_R\) et \(F_P\) pour désigner le foyer objet du viseur lorsque l'image est au remotum \(R\) puis au proximum \(P\).