Question 2
Durée : 5 mn
Note maximale : 3
Question
A l'aide du tableau des unités dérivées simples, montrer l'homogénéité de la relation : \(p = \frac{1}{3} n~m~u^{2}\)
où \(p\), pression d'un gaz, \(n\) nombre de molécules gazeuses par unité de volume, \(m\) masse d'une molécule, \(u\) vitesse efficace.
Solution
\(\dim p = \dim ~(\textrm{pression}) = L^{-1}MT^{-2}\)
\(\dim ~(\textrm{masse}) = M\)
\(\dim~ (\textrm{vitesse})^2 = (LT^{-1})^2 = L^2T^{-2}\)
\(\dim n = L^{-3}\)
d'où
\(\begin{array}{ll}\dim\left(\frac{1}{3} n~m~u^{2} \right) &= \dim n \times \dim m \times \dim \left(u^2\right) \\ &=L^{-3}ML^{2}T^{-2} \\ &= L^{-1}MT^{-2} \end{array}\) ( 3 points )
La relation est donc bien homogène.