Question 5
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
Indiquer les réponses correctes concernant les périodes:
d'un pendule simple:
\(T_{\textrm {a}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{m}} \qquad T_{\textrm {b}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{l}} \qquad T_{\textrm {c}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \qquad T_{\textrm {d}} = 2 \pi \sqrt{\frac{g}{l}}\)
d'un circuit oscillant:
\(T_{\textrm {e}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \qquad T_{\textrm{f}} = 2 \pi \sqrt{LC} \qquad T_{\textrm{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{C}} \qquad T_{\textrm{h}} = 2 \pi \sqrt{\frac{C}{L}}\)
avec \(l\) une longueur, \(m\) une masse, \(g\) une accélération, \(L\) une induction et \(C\) une capacité.
Solution
Sachant que
\(\dim ~l = L\), \(\dim~ m = M\), \(\dim ~g = LT^{-2}\), \(\dim ~L = L^2MT^{-2}I^{-2}\), \(\dim ~C = L^{-2}M^{-1}T^{4}I^{2}\).
La période \(T = k \sqrt{A}\) a pour dimension \(T\), seule la dimension \(A = T^2\) peut convenir:
\(\dim (l/m)\), \(\dim (m/l)\), \(\dim (g/l)\), \(\dim (1/(LC))\), \(\dim (L/C)\) et \(\dim (C/L)\) n'ont pas pour dimension \(T^{2}\).
Les deux réponses correctes:
\(T_{\textrm{c}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\) ( 4 points )
et
\(T_{\textrm{f}} = 2 \pi \sqrt{LC}\) ( 4 points )
car \(\dim ~(l/g) = \dim ~(LC) = T^{2}\)