Conjugaison, partie réelle, partie imaginaire, imaginaire pur
Conjugaison
Définition :
Pour tout \(\underline{z} = a + j b \in \mathbb{C}\), \((a,b) \in R^{2}\), on définit le conjugué \(\underline{z}^{\ast}\) de \(\underline{z}\) par : \(\underline{z}^{\ast} = a - j b\)
Propriété :
\(\forall \underline{z} \in \mathbb{C} \qquad ( \underline{z} ^{\ast})^{\ast} = \underline{z}\)
\(\forall ( \underline{z} , \underline{z}') \in \mathbb{C}^{2} \qquad \begin{array}{ll}(\underline{z} + \underline{z}' )^{\ast} = \underline{z}^{ \ast} + \underline{z}'^{\ast} \\(\underline{z}~\underline{z}')^{\ast} = \underline{z}^{\ast} ~\underline{z}'^{\ast} \end{array}\)
Généralisation :
\(\forall n \in \mathbb{N}^{\ast}, ~\forall (z_{1}, ..., z_{n}) \in \mathbb{C}^{n}\)
\(\left(\displaystyle{\sum^{n}_{i=1}\underline{z}_{i}}\right)^{\ast} = \displaystyle{\sum^{n}_{i=1}\underline{z}_{i}^{\ast}}\)
\(\left(\displaystyle{\prod^{n}_{i=1}\underline{z}_{i}}\right)^{\ast} = \displaystyle{\prod^{n}_{i=1}\underline{z}_{i}^{\ast}}\)
\(\forall\underline{z}\in \mathbb{C}, ~\forall\underline{z}' \in \mathbb{C}^{\ast} \quad \left(\frac{\underline{z}}{\underline{z}'} \right)^{\ast} = \frac{\underline{z}^{\ast}}{\underline{z}'^{\ast}}\)
\(\forall \underline{z}\in \mathbb{C}\qquad \begin{array}{ll} \textrm{si } \underline{z}^{\ast} = \underline{z}\Leftrightarrow \underline{z}\in \mathbb{R} \\ \textrm{si } \underline{z}^{\ast} = - \underline{z}\Leftrightarrow \underline{z}\in j ~\mathbb{R}\end{array}\)
Partie réelle, partie imaginaire, imaginaire pur
Partie réelle, partie imaginaire, imaginaire pur
Définition :
Pour tout \(\underline{z}= a + j ~b \in \mathbb{C}\), \((a , b) \in \mathbb{R}^{2}\), on définit :
\(\textrm{Re }(z) = a\) la partie réelle de \(\underline{z}\)
\(\textrm{Im }(z) = b\) la partie imaginaire de \(\underline{z}\)
Lorsque \(b = 0\), \(\underline{z}= a\) est un réel et lorsque \(a = 0\), \(\underline{z}= j ~b\) est appelé imaginaire pur.
Propriété :
\(\forall \underline{z}\in \mathbb{C} \qquad \begin{array}{ll}\underline{z}+ \underline{z}^{\ast} = 2 \textrm{ Re }(\underline{z}) \\ \underline{z}- \underline{z}^{\ast} = 2 j \textrm{ Im }(\underline{z}) \end{array}\)
\(\forall ( \underline{z}, \underline{z}')\in \mathbb{C}^{2}\qquad \begin{array}{ll} \textrm{Re }(\underline{z}+ \underline{z}' ) =\textrm{Re }(\underline{z}) +\textrm{Re }(\underline{\underline{z}}') \\ \textrm{Im }(\underline{z}+ \underline{z}' ) =\textrm{Im} (\underline{z}) +\textrm{Im }(\underline{z}') \end{array}\)
Attention : en général \(\textrm{Re }( \underline{z}~\underline{z}' )\ne \textrm{Re }(\underline{z}) ~\textrm{Re }(\underline{z}')\) et \(\textrm{Im }(\underline{z}~\underline{z}' ) \ne \textrm{Im }(z) ~\textrm{Im }(\underline{z}')\)
\(\forall \underline{z}\in \mathbb{C}, \forall \lambda \in \mathbb{R}\qquad \begin{array}{ll} \textrm{Re }(\lambda ~\underline{z}) = \lambda\textrm{ Re }(\underline{z}) \\ \textrm{Im }(\lambda ~\underline{z}) = \lambda \textrm{ Im }(\underline{z}) \end{array}\)