Argument d'un nombre complexe
Définition :
Pour tout \(\underline{z} = a + j b \in \mathbb{C}^{\ast}\), \((a , b) \in R^{2}\), on définit un réel \(\theta\) , modulo \(2\pi\) , appelé argument de \(\underline{z}\) et noté \(\arg \underline{z}\) tel que :
\(\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\) et \(\sin \theta = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\), \(\tan \theta = \frac{b}{a}\)
Propriété :
\(\begin{array}{ll}\forall \underline{z} \in \mathbb{C}^{\ast} & \qquad \arg \underline{z} = 0 ~[\pi ] \Leftrightarrow \underline{z} \in \mathbb{R}^{\ast} ( \underline{z} \textrm{ est un r\'eel}) \\ & \qquad \arg \underline{z} = \frac{\pi}{2} [\pi] \Leftrightarrow \underline{z} \in j \mathbb{R}^{\ast} ( \underline{z} \textrm{ est un imaginaire pur}) \\ & \qquad \arg \underline{z}^{\ast} = -\arg \underline{z} ~[2 \pi] \\ & \qquad \arg \frac{1}{\underline{z}} = - \arg \underline{z} \qquad [2 \pi] \\ & \qquad \arg(-\underline{z}) = \arg \underline{z} + \pi \end{array}\)
\(\begin{array}{ll}\forall \left(\underline{z},\underline{z}' \right) \in \mathbb{C}^{\ast 2} & \qquad \arg \left( \underline{z}~\underline{z}' \right) = \arg \underline{z} + \arg \underline{z}' [2 \pi] \\ & \qquad \forall \textrm{n} \in \mathbb{N}^{\ast}, \forall \underline{z} \in \mathbb{C}^{\ast}, \arg(\underline{z}^{\textrm{n}}) = \textrm{n} \arg~\underline{z} ~[2 \pi] \\ & \qquad \arg\left(\frac{\underline{z}}{\underline{z}'} \right) = \arg \underline{z} - \arg \underline{z}' \qquad [2 \pi] \end{array}\)
Exemple :
Soit les nombres complexes \(\underline{Z} = 1 + j\) et \(\underline{Z}' = \frac{-\sqrt{3}}{2} + j \frac{1}{2}\)
Pour \(\underline{Z}\) , argument \(\theta\) est tel que : \(\cos \theta = \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\) d'où \(\arg \underline{Z} = \theta = \frac{\pi}{4}~ [2 \pi]\)
Pour \(\underline{Z}'\), argument \(\theta '\) sera défini par : \(\cos \theta ' = \frac{-\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin \theta ' = \frac{1}{2}\) d' où
\(\arg \underline{Z}' = \frac{5 \pi}{6}~ [2 \pi]\)