Forme exponentielle. Formules d'Euler. Formule de Moivre
Définition :
Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\), on pose :\(e^{j\theta} = \cos \theta + j \sin \theta\)
\(e^{j\theta}\) désigne donc le nombre complexe de module 1( \(\arrowvert e^{j\theta} \arrowvert= 1\) ) et d'argument \(\theta\) (\(\arg e^{j\theta} = \theta\))
Exemples : \(e^{j0} = 1 ;~e^{j \pi/2} = j ;~ e^{j\pi} = -1 ;~ e^{j3\pi/2} = -j\)
Pour tout nombre complexe \(\underline{z} \in \mathbb{C}^{\ast}\) de module \(\rho\) et d'argument \(\theta\) nous posons :
\(z = \rho ( \cos \theta + j \sin \theta ) = \rho ~e^{ j\theta}\)
qui est appelée forme exponentielle de \(\underline{z}\) .
Remarque :
La notation exponentielle permet de transformer les règles de calcul sur le produit et le quotient en règles de calcul sur les puissances.
Propriété :
\(\forall (\theta, \theta') \in \mathbb{R}^{2} \qquad e^{j(\theta + \theta')} = e^{j \theta} . e^{j \theta '}\)
Généralisation
\(\forall\textrm{n}\in \mathbb{N}^{\ast}, \forall \theta_{1},...,\theta_{n} \in \mathbb{R} \qquad e^{j \scriptstyle{\sum^{n}_{i=1} \theta_{i}}} = \displaystyle{\prod^{n}_{i=1}}e^{j \theta_{i}}\)
\(\forall\textrm{n}\in \mathbb{N}^{\ast}, \forall \theta \in \mathbb{R} \qquad (e^{j \theta})^{n} = e^{j\textrm{n}\theta}\)
\(\forall \theta \in \mathbb{R}~ e^{j \theta} \ne 0\) et \(\frac{1}{e^{j \theta}} = e^{-j \theta}\)
\(\forall\textrm{n}\in \mathbb{Z}, \forall \theta \in \mathbb{R}~(e^{j \theta})^{n} = e^{j\textrm{n}\theta}\)
\(e^{j \theta} = 1 \Leftrightarrow \theta \in 2 \pi \mathbb{Z}\)
\(\left(e^{j \theta}\right)^{\ast} = e^{-j \theta}\)
De la relation précédente nous exprimons la Formule de MOIVRE :
\(\forall\textrm{n}\in \mathbb{Z}, \forall \theta \in \mathbb{R} \left( \cos \theta + j \sin \theta \right)^{n} = \cos\textrm{n }\theta + j \sin\textrm{n }\theta\)
Des relations \(\left\{\begin{array}{ll} e^{j \theta} = \cos \theta + j \sin \theta \\ e^{-j \theta} = \cos \theta - j \sin \theta \end{array}\right.\) nous en déduisons les Formules d'EULER :
\(\cos \theta = \frac{1}{2} \left( e^{j \theta} + e^{-j \theta}\right)\) et \(\sin \theta = \frac{1}{2j} \left(e^{j \theta} - e^{-j \theta} \right)\)
Exemple :
Formule de MOIVRE :
\((\cos \theta + j \sin \theta)^{3} = \cos 3 \theta + j \sin 3 \theta\)
or \((\cos \theta + j \sin \theta)^{3} = 4 \cos^{3} \theta - 3 \cos \theta + j(3 \sin \theta - 4 \sin^{3} \theta )\)
d'où : \(\cos 3\theta = 4 \cos^{3} \theta - 3 \cos \theta\) et \(\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^{3} \theta\)
Formules d'EULE :
\(\cos^{3} \theta = \left(\frac{e^{j \theta} + e^{-j \theta}}{2}\right)^{3} = \frac{1}{4}\left[\frac{e^{j3\theta} + e^{-j3\theta}}{2} + 3\frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}\right] = \frac{1}{4} \left(\cos 3 \theta + 3 \cos \theta\right)\)
\(\sin^{3} \theta = \left(\frac{e^{j \theta} - e^{-j \theta}}{2j}\right)^{3} = \frac{1}{4}\left[3\frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j} -\frac{e^{j3\theta} - e^{-j3\theta}}{2j}\right] = \frac{1}{4} \left(3\sin \theta - \sin 3\theta\right)\)