Forme trigonométrique d'un nombre complexe
Définition :
Pour tout \(\underline{z} = a + j b \in \mathbb{C}^{\ast}, (a , b) \in \mathbb{R}^{2}\), on définit la forme trigonométrique de \(\underline{z}\) par :
\(\underline{z} = \rho \left( \cos \theta + j \sin \theta \right)\)
avec \(\rho = \arrowvert \underline{z} \arrowvert\) et \(\theta = \arg \underline{z}\)
Règle :
\(\cos \theta = \frac{a}{\rho} = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)
\(\sin \theta = \frac{b}{\rho} = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)
\(\tan \theta = \frac{b}{a}~ (\theta + 2k\pi ; k \in Z)\)
Exemple :
Soit les nombres complexes : \(\underline{Z}_{1} =-1 - j \quad \underline{Z}_{2} = \sqrt{3} + j\)
Modules : \(\arrowvert \underline{Z}_{1} \arrowvert = \sqrt{2} \quad \arrowvert\underline{Z}_{2}\arrowvert = 2\)
Argument : \(\arg \underline{Z}_{1} = \frac{5 \pi}{4} \quad \arg{\underline{Z}_{2}} = \frac{\pi}{6}\)
Formes trigonométriques : \(\begin{array}{ll} \underline{Z}_{1} = \sqrt{2}\left[ \cos \frac{5 \pi}{4} + j \sin \frac{5 \pi}{4}\right] \\ \underline{Z}_{2} = 2 \left[\cos \frac{\pi}{6} + j \sin \frac{\pi}{6}\right] \end{array}\)