Formules de duplication
En posant \(b = a\) dans les formules d'addition, nous obtenons :
\(\textrm{ch }2a = \textrm{ch}^{2}a + \textrm{sh}^{2} a\)
\(\textrm{sh }2a = 2\textrm{sh}a \textrm{ ch}a\)
\(\textrm{th }2a = \frac{2 \textrm{th} a}{ 1 + \textrm{th}^{2}a}\)
\(\textrm{coth }2a = \frac{1 + \textrm{coth}^{2}a}{2 \textrm{ coth }a}\)
Expressions de \(\textrm{ch}^{2}a\), \(\textrm{sh}^{2}a\), \(\textrm{th}^{2}a\) et \(\textrm{coth}^{2}a\) en fonction de \(\textrm{ch} 2a\).
De la relation : \(\textrm{ch }2a = \textrm{ch}^{2}a + \textrm{sh}^{2}a = 2\textrm{ch}^{2}a - 1 = 1 + 2 \textrm{sh}^{2}a\), nous en déduisons :
\(\textrm{ch}^{2} a = \frac{\textrm{ch}2a + 1}{2}\)
\(\textrm{sh}^{2} a = \frac{\textrm{ch}2a - 1}{2}\)
\(\textrm{th}^{2}a = \frac{1}{\textrm{coth}^{2}a} = \frac{\textrm{ch}2a - 1}{\textrm{ch}2a + 1}\)
Expressions de \(\textrm{ch a}\), \(\textrm{sh a}\), \(\textrm{th a}\) et \(\textrm{coth a}\) en fonction de \(t = \textrm{th}(a/2)\).
En remplaçant \(2a\) par \(a\) dans les formules de duplication et en tenant compte de la relation \(\textrm{ch}^{2}(a/2) - \textrm{sh}^{2}(a/2) = 1\), nous obtenons :
\(\begin{array}{lll} \textrm{ch }a = \frac{1+t^{2}}{1-t^{2}} \\ \textrm{sh }a = \frac{2t}{1-t^{2}} \\ \textrm{th }a = \frac{1}{\textrm{coth}a} = \frac{2t}{1+t^{2}}\end{array} \textrm{ avec } t = \textrm{th}(a/2)\)
Démonstration :
En remplaçant \(2a\) par \(a\) dans les formules de duplication, nous avons :
\(\textrm{ch }a = \textrm{ch }^{2}\frac{a}{2} + \textrm{sh }^{2} \frac{a}{2} = \frac{\textrm{ch}^{2}\tfrac{a}{2} + \textrm{sh}^{2} \tfrac{a}{2}}{\textrm{ch}^{2} \tfrac{a}{2} - \textrm{sh}^{2}\tfrac{a}{2}}\)
\(~\qquad = \frac{1+ \textrm{th}^{2} \tfrac{a}{2}}{1 - \textrm{th}^{2}\tfrac{a}{2}} = \frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}\)
\(\textrm{sh }a = 2 \textrm{ sh}\frac{a}{2} \textrm{ ch}\frac{a}{2} =\frac{2 \textrm{sh}\tfrac{a}{2} \textrm{ ch} \tfrac{a}{2}}{\textrm{ch}^{2}\tfrac{a}{2} - \textrm{sh}^{2}\tfrac{a}{2}}\)
\(~\quad = \frac{2 \textrm{th }\tfrac{a}{2}}{1-\textrm{th}^{2} \tfrac{a}{2}} = \frac{2t}{1-t^{2}}\)
\(\textrm{th }a = \frac{1}{\textrm{coth }a} = \frac{2 \textrm{th}\tfrac{a}{2}}{1 + \textrm{th}^{2} \tfrac{a}{2}} = \frac{2t}{1+t^{2}}\)