Formules de transformation somme - produit
Posons \(\left\{\begin{array}{lll} p = a+b \\ q = a-b \end{array} \right.\) c'est à dire \(\left\{\begin{array}{lll} a = \frac{p+q}{2}\\\\ b = \frac{p-q}{2} \end{array} \right.\).
D'après les formules de transformation : produit → somme, nous tirons :
\(\textrm{ch}p + \textrm{ch}q = 2 \textrm{ch} \frac{p+q}{2} \textrm{ch}\frac{p-q}{2}\)
\(\textrm{ch}p - \textrm{ch}q = 2 \textrm{sh} \frac{p+q}{2} \textrm{sh}\frac{p-q}{2}\)
\(\textrm{sh}p + \textrm{sh}q = 2 \textrm{sh} \frac{p+q}{2} \textrm{ch}\frac{p-q}{2}\)
\(\textrm{sh}p - \textrm{sh}q = 2 \textrm{sh} \frac{p-q}{2} \textrm{ch}\frac{p+q}{2}\)
En appliquant la définition des fonctions tangente et cotangente, nous obtenons :
\(\textrm{th}p + \textrm{th}q = \frac{\textrm{sh}p}{\textrm{ch}p} + \frac{\textrm{sh}q}{\textrm{ch}q} = \frac{\textrm{sh}(p+q)}{\textrm{ch}p \textrm{ ch}q}\)
\(\textrm{th}p - \textrm{th}q = \frac{\textrm{sh}p}{\textrm{ch}p} - \frac{\textrm{sh}q}{\textrm{ch}q} = \frac{\textrm{sh}(p-q)}{\textrm{ch}p \textrm{ ch}q}\)
\(\textrm{coth }p + \textrm{coth }q = \frac{\textrm{ch}p}{\textrm{sh}p} + \frac{\textrm{ch}q}{\textrm{sh}q} = \frac{\textrm{sh}(p+q)}{\textrm{sh}p \textrm{ sh}q}\)
\(\textrm{coth }p - \textrm{coth }q = \frac{\textrm{ch}p}{\textrm{sh}p} - \frac{\textrm{ch}q}{\textrm{sh}q} = -\frac{\textrm{sh}(p-q)}{\textrm{sh}p \textrm{ sh}q}\)