Formules de transformation : produit - somme
Des formules d'addition nous tirons l'expression des produits :
\(\textrm{ch}a \textrm{ ch}b = \frac{1}{2} \left[\textrm{ch }(a+b) + \textrm{ch }(a-b)\right]\)
\(\textrm{sh}a \textrm{ sh}b = \frac{1}{2} \left[\textrm{ch }(a+b) - \textrm{ch }(a-b)\right]\)
\(\textrm{sh}a \textrm{ ch}b = \frac{1}{2} \left[\textrm{sh }(a+b) + \textrm{sh }(a-b)\right]\)
\(\textrm{ch}a \textrm{ sh}b = \frac{1}{2} \left[\textrm{sh }(a+b) - \textrm{sh }(a-b)\right]\)
Démonstration :
Des formules d'addition :
\(\textrm{ch}(a+b) = \textrm{ch}a\textrm{ ch}b + \textrm{sh}a\textrm{ sh}b \qquad ~\) (1)
\(\textrm{ch}(a-b) = \textrm{ch}a\textrm{ ch}b - \textrm{sh}a\textrm{ sh}b \qquad ~\) (2)
\(\textrm{sh}(a+b) = \textrm{sh}a\textrm{ ch}b + \textrm{ch}a\textrm{ sh}b \qquad ~\) (3)
\(\textrm{sh}(a-b) = \textrm{sh}a\textrm{ ch}b - \textrm{ch}a\textrm{ sh}b \qquad ~\) (4)
On en déduit par :
addition de (1) et (2) : \(\textrm{ch }(a + b) + \textrm{ch }(a - b) = 2 \textrm{ ch}a \textrm{ ch}b\)
\(\boxed{{\textrm{ch}a \textrm{ ch}b = \frac{1}{2} \left[\textrm{ch }(a+b) + \textrm{ch}(a-b)\right]}}\)
soustraction de (1) et (2) : \(\textrm{ch }(a + b) - \textrm{ch }(a - b) = 2 \textrm{sh}a \textrm{ sh}b\)
\(\boxed{{\textrm{sh}a \textrm{ sh}b = \frac{1}{2} \left[\textrm{ch }(a+b) - \textrm{ch}(a-b)\right]}}\)
addition de (3) et (4) : \(\textrm{sh }(a + b) + \textrm{sh }(a - b) = 2 \textrm{sh}a \textrm{ ch}b\)
\(\boxed{{\textrm{sh}a \textrm{ ch}b = \frac{1}{2} \left[\textrm{sh }(a+b) + \textrm{sh}(a-b)\right]}}\)
soustraction de (3) et (4) : \(\textrm{sh }(a + b) - \textrm{sh }(a - b) = 2 \textrm{ch}a \textrm{ sh}b\)
\(\boxed{{\textrm{ch}a \textrm{ sh}b = \frac{1}{2} \left[\textrm{sh }(a+b) - \textrm{sh}(a-b)\right]}}\)
Exemple :
Dans le cas où \(a = 2x\) et \(b = -x\), nous obtenons :
\(\textrm{ch}2x \textrm{ ch}x = \frac{1}{2} (\textrm{ch}x + \textrm{ch }3x)\)
\(\textrm{sh}2x \textrm{ sh}x = \frac{1}{2} (\textrm{ch}x - \textrm{ch }3x)\)
\(\textrm{sh}2x \textrm{ ch}x = \frac{1}{2} (\textrm{sh}x + \textrm{sh }3x)\)
\(\textrm{ch}2x \textrm{ sh}x = -\frac{1}{2} (\textrm{sh}x - \textrm{sh }3x)\)