Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique

La fonction sinus hyperbolique, notée \(\textrm{sh}\) , est :

• définie sur \(\mathbb{R}\) : \(\textrm{sh }x = (e^{x} - e^{-x}) / 2\)

• impaire : \(\textrm{sh }(-x) = - \textrm{sh }x\)

Le domaine d'étude se réduit à \(D_{e} = [0, +\infty [\) . Le graphe de la fonction sinus hyperbolique, admet l'origine \(O\) comme centre de symétrie.

Aux bornes de \(D_{e}\), nous avons :

• \(\textrm{sh }0 = 0\)

• \(\displaystyle{\lim_{x \to + \infty} \textrm{sh}x \approx \lim_{x \to +\infty} e^{x} = + \infty}\)

  avec \(e^{x} / 2 - \textrm{sh }x = e^{-x} / 2 > 0\) (le graphe de \(\textrm{sh }x\) est asymptote en \(+\infty\) au graphe de la fonction \(y = e^{x} / 2\) et se trouve au-dessous de celui-ci).

La fonction dérivée \(\textrm{sh' }x = (e^{x} + e^{-x}) / 2 = \textrm{ch }x\) étant positive sur \(D_{e}\), la fonction \(\textrm{sh }x\) est croissante sur \(D_{e}\) .

Tableau de variation sur \(D_{e}\)

Représentation graphique de \(\textrm{sh }x\)