Équations différentielles du 1er ordre

Après changement de fonction, l'équation différentielle de Clairaut devient : \(0=t'(x+\ln t+1),\) d'où les solutions :

1° cas : \(t'=0\Rightarrow y=Cx+C\ln C,\) famille de droites.

2° cas : \(x+\ln t + 1 = 0 \Rightarrow \begin{cases}x=-1-\ln t\\y=-t\end{cases}\) ou \(y=-e^{-(1+x)}\) solution singulière

Dérivation de chaque membre de cette équation : \(y'=y'+xy''+y''\ln y'+y'\frac{y''}{y'}\)

\(\Leftrightarrow 0 = y''(x+\ln y'+1)\Leftrightarrow 0=t'(x+\ln t+1),\) avec \(t'=y'\) et \(t=y''.\)

1°cas : \(t'=0\Rightarrow t= C\text{ (constante)}\) et \(y=Cx+C\ln C\)courbes intégrales représentées par une famille de droites.

2°cas : \(x+\ln t + 1 = 0\Rightarrow x = -1-\ln t\)

\(\Rightarrow y = xt+t\ln t = -t(1+\ln t) + t\ln t = -t\)

Les fonctions \(x(t)=-(1+\ln t)\) et \(y(t)=-t\) fournissent les équations paramétriques d'une courbe qui est l'enveloppe de la famille de droites. C'est l'intégrale singulière de l'équation de Clairaut qui peut se mettre sous la forme : \(y=-e^{-(1+x)}\)

\((\ln t = -(1+x)\Leftrightarrow t = e^{-(1+x)}\text{ et }y=-t\)

Après dérivation et changement de fonction, nous obtenons:

\(2t+t'(x+\frac1t)\text{ ou }2t\frac{dx}{dt}+x=\frac{-1}t\)(ED linéaire)

Dérivons chaque membre de l'équation et posons \(t=y'\) et \(t'=y''\) :

\(y'=-xy''-y'-\frac{y''}{y'}\Leftrightarrow 0=-2y'-y''(x+\frac1{y'})\Leftrightarrow 0=2t+t'(x+\frac1t)\)

Les fonctions dérivées des fonctions réciproques vérifiant la relation \(t'_x=1/x_t',\) l'équation différentielle transformée est linéaire pour la fonction \(x(t) :2t\frac{dx}{dt}+x=\frac{-1}t\)

- Recherche de la solution générale \(x_0\)de l'équation homogène ou ESSM :\(2t\frac{dx}{dt}+x=0\) (séparation des variables)

\(\frac{dx}x=\frac{-1}2\frac{dt}t\Leftrightarrow \int\frac{dx}x=\frac{-1}2\int\frac{dt}t\)

\(\Leftrightarrow \ln|x|=\ln|\frac{C}{\sqrt t}|,~~C\in\mathbb R\)

\(\Leftrightarrow x_0=\frac{K}{\sqrt t},K\in\mathbb R\)

- Recherche de la solution particulière \(x_1\)de l'équation complète ou EASM : \(2t\frac{dx}{dt}+x=\frac{-1}t.\)

Méthode de "variation" de la constante : on pose \(x_1=\frac{K(t)}{\sqrt t}\)

D'où : \(2t(K'(t)t^{-1/2}-\frac12K(t)t^{-3/2})+K(t)t^{-1/2}=\frac{-1}t\)

\(K'(t)=-\frac12t^{-3/2}\Rightarrow K(t)=\frac1{\sqrt t}\) et \(x_1=\frac{K(t)}{\sqrt t}=\frac1t\)

La solution générale \(x(t)\)de l'équation différentielle linéaire est donc:

\(x(t)=x_0+x_1=\frac{K\sqrt t + 1}{t}\)

D'après l'expression de dans l'équation différentielle de Lagrange :

\(y(t)=-xt-\ln t=-K\sqrt t - 1 - \ln t\)

Nous obtenons les équations paramétriques \(x(t)\) et \(y(t)\)des courbes intégrales.