ED Homogène et de Bernouilli
Partie
Question
Intégrer l'équation différentielle \((E)~~x^2y'-xy+y^2=0\) pour \(x\in\mathbb R\) en la considérant comme une équation homogène.
Aide simple
Résoudre \((E)\) sur \(\mathbb R^*\) en introduisant le paramètre \(t=y/x.\)
Aide détaillée
La dérivation par rapport à \(x\) de \(y=tx\) conduit à \(y'=t'x+t\) puis à l'équation différentielle \(xt'=-t^2\) que l'on intègre pour obtenir \(x(t).\)
Rappel de cours
Voir la page Equations différentielles homogènes
Solution simple
L'intégration de l'équation différentielle \(xt'=-t^2\) conduit à la solution sous forme paramétrique :
\(x=Ke^{1/t}\) et \(y=Kte^{1/t}\) avec \(K\in\mathbb R\)
ou \(y=\frac x{\lambda+\ln|x|},~~\lambda\in\mathbb R\)
Solution détaillée
Pour résoudre \(( E),\) on introduit la fonction \(t=y/x~~(x\in\mathbb R^*).\)
La dérivation, par rapport à \(x,\) de \(y=tx\)conduit à \(y'=t'x+t.\)
En portant les expressions de \(y\) et \(y'\) de dans \(( E )\) nous obtenons :
\(x^2(t'x+t)-xtx+t^2x^2=0\Leftrightarrow xt'+t^2=0\)
Pour \(t\neq 0,~~\frac{dx}{x}=-\frac{dt}{t^2},\) qui par intégration conduit à :
\(\ln|x|=\frac1t+C~~(C\in\mathbb R)\Leftrightarrow\begin{cases}x=Ke^{1/t}\\y=Kte^{1/t}\end{cases},K\in\mathbb R\)
Solution sous forme paramétrique de l'équation \(( E )\)
Par élimination du paramètre \(t,\) nous obtenons les solutions de \(( E )\) sous la forme :
\(y=\frac x{\lambda+\ln|x|},~~\lambda\in\mathbb R\)
Question
Intégrer l'équation différentielle \(x^2y'-xy+y^2=0~~( E )\) pour \(x\in\mathbb R^*,\) en la considérant comme une équation de Bernoulli.
Aide simple
Diviser par \(y^2\) et poser la nouvelle fonction \(t=y/x.\)
Aide détaillée
Le changement de fonction \(y(x)\) en \(z(x)\) transforme \(( E )\) en une équation différentielle linéaire du 1er ordre.
Solution simple
Après changement de fonction, l'équation \((E)\) devient :
\(x^2z'_1+xz_1=1\) dont la résolution conduit à la solution : \(z(x)=\frac{\lambda+\ln|x|}x,\) d'où \(y(x)=\frac x{\lambda+\ln|x|}.\)
Solution détaillée
Division par \(y^2\) et posons \(z(x)=1/y(x)\) et \(z'(x)=-y'/y^2\)
D'où : \(\frac{x^2y'}{y^2}-\frac xy=-1\Leftrightarrow x^2z'+xz=1\text{ (ED linéaire) (E1)}\)
- Recherche de la solution générale \(z_0\) de l'ESSM : \(x^2z_0'+xz_0=0\)
Pour \(x\in\mathbb R^*,~~x\frac{dz}{dx}=-z\Leftrightarrow \frac{dz}{z}=-\frac{dx}{x}\Rightarrow\) par intégration :
\(\ln|z|=-\ln|x|+C\Leftrightarrow z_0=\frac{\lambda}{x},~~\lambda\in\mathbb R\)
- Rechercher de la solution particulière \(z_1\) de l'EASM : \(x^2z_1'+xz_1=1\)
Méthode de « variation » de la constante : On cherche \(z_1\) sous la forme \(z_1=\frac{\lambda(x)}x\) d'où \(z_1'=\frac{\lambda'(x)}x-\frac{\lambda(x)}{x^2}\)
d'où \(x^2(\frac{\lambda'(x)}x-\frac{\lambda(x)}{x^2})+x\frac{\lambda(x)}x=1\Leftrightarrow \lambda'(x)=\frac1x\Rightarrow\lambda(x)=\ln|x|\)
et \(z_1(x)=\frac{\lambda(x)}{x}=\frac{\ln|x|}x\)
Solution de \(( E1 )\) : \(z(x)=z_0+z_1+\frac{\lambda+\ln|x|}x\)
Solution de \(( E )\) : \(y(x)=\frac1{z(x)}=\frac x{\lambda+\ln|x|},~~\lambda\in\mathbb R\)