Intégrer l'équation différentielle xy′−2y+3x=0 (E) en la considérant comme une équation homogène.
On résout (E) sur R∗ en introduisant le paramètre t=y/x.
Puisque y=tx, alors y′=t′x+t, et l'équation (E) devient t′x=t−3, que l'on intègre pour obtenir la fonction x(t).
Voir la page Equations différentielles homogènes
L'intégration de l'équation différentielle t′x=t−3 conduit à la solution sous forme paramétrique :
x=λ(t−3) et y=λt(t−3), λ∈R
ou y=Kx2+3x, K∈R.
Pour résoudre (E), on introduit la fonction t=y/x, x∈R∗ et par dérivation, par rapport à x, de y=tx, nous obtenons y′=t′x+t.
En portant y et y′ dans (E) :
x(t′x+t)−2tx+3x=0⇔t′x=t−3
Pour t−3≠0, dxx=dtt−3, qui par intégration conduit à : ln|x|=ln|t−3|+K.
D'où : {x=λ(t−3)y=λt(t−3),λ∈R: Solution sous forme paramétrique de l'équation (E)
Par élimination du paramètre t, nous obtenons les solutions de (E) sous la forme : y=μx2+3x, μ∈R.