ED de Riccati
Partie
Question
Soit à résoudre l'équation différentielle : \(x y' = y^2 - 3xy -1 ~~(E)\)
Déterminer une solution particulière de \((E).\)
Aide simple
Poser une \(y(x) = y_p + z(x) = 3x + 1 + z(x)\) pour résoudre \((E).\)
Aide détaillée
En portant les expressions de \(y(x)\) et \(y'(x)\) dans l'équation différentielle \((E),\) nous obtenons une équation de Bernoulli en \(z.\)
Rappel de cours
Voir la page Equations différentielles de Riccati
Aide à la lecture
Cette équation différentielle du 1er ordre est une équation de Riccati.
Solution simple
Vous devez obtenir l'équation de Bernoulli :
\(\boxed{\color{red}x z' - (3x + 2) z = z^2}\)
Solution détaillée
Résolution de l'équation de Riccati
Posons : \(y = 3x + 1 + z\)
d'où \(y' = 3 + z'\)
Dans l'équation \((E)\) :
\(x(3+z')=(3x+1+z)^2-3x(3x+1+z)-1\\3x+xz'=9x^2+1+z^2+6x+6xz+2z-9x^2-3x-3xz-1\\xz'=z^2+3xz+2z\)
d'où
\(\boxed{\color{red}x z' - (3x + 2) z = z^2~~ Equation de Bernoulli}\)
Question
Résoudre l'équation de Riccati .
Aide simple
Poser une \(y(x) = y_p + z(x) = 3x + 1 + z(x)\) pour résoudre \((E).\)
Aide détaillée
En portant les expressions de \(y(x)\) et \(y'(x)\) dans l'équation différentielle \((E),\) nous obtenons une équation de Bernoulli en \(z.\)
Rappel de cours
Voir la page Equations différentielles de Riccati
Aide à la lecture
Connaissant une solution particulière \(y_p\) de \((E),\) sous quelle forme devez-vous chercher la solution générale de \((E)\) ?
Solution simple
Vous devez obtenir l'équation de Bernoulli :
\(\boxed{\color{red}x z' - (3x + 2) z = z^2}\)
Solution détaillée
Résolution de l'équation de Riccati
Posons : \(y = 3x + 1 + z\)
d'où \(y' = 3 + z'\)
Dans l'équation \((E)\) :
\(x(3+z')=(3x+1+z)^2-3x(3x+1+z)-1\\3x+xz'=9x^2+1+z^2+6x+6xz+2z-9x^2-3x-3xz-1\\xz'=z^2+3xz+2z\)
d'où
\(\boxed{\color{red}x z' - (3x + 2) z = z^2~~ Equation de Bernoulli}\)
Question
Résoudre alors l'équation de Bernoulli obtenue : \(xz' - (3x + 2) z = z^2 .\)
Aide simple
Faire disparaître au second membre la fonction\( z(x).\)
Aide détaillée
Diviser les deux membres de l'équation par \(z^2\) et poser \(u(x) = 1/z(x) .\)
Aide à la lecture
Par changement de fonction, revenir à une équation différentielle linéaire.
Solution simple
Vous devez obtenir l'équation différentielle linéaire en \(u(x)\) :
\(\boxed{\color{red}xu' + (3x + 2) u = -1}\)
Solution détaillée
Résolution de l'équation de Bernoulli :
\(x z' - (3x + 2) z = z^2\)
Divisons les deux membres par \(z^2\) et posons comme nouvelle fonction \(u(x) = 1 / z(x),\) d'où
\(u'(x)=-z'(x)/z^2(x)\)
Cette substitution conduit à :
\(x\frac{z'}{z^2}-(3x+2)\frac1z=1\)
\(\boxed{\color{red}xu' + (3x + 2) u = -1}\)
Question
Résoudre l'équation différentielle \(xu' + (3x + 2) u = -1 .\)
Aide simple
Chercher déjà la solution générale \(u_H\) de l'équation homogène sans second membre.
Aide détaillée
Pour appliquer le théorème des équations linéaires, chercher ensuite une solution particulière \(u_p\) de l'équation avec second membre par la méthode de "variation de la constante".
Rappel de cours
Voir la page Equations différentielles linéaires
Aide à la lecture
Résoudre finalement cette équation différentielle linéaire en \(u(x).\)
Solution simple
Solution générale \(u_H\) de l'équation sans second membre (ESSM) :
\(\boxed{u_H=\lambda\frac{e^{-3x}}{x^2}}\)
Solution particulière \(u_p\) de l'équation avec second membre (EASM) :
\(\boxed{u_p=(-\frac x3+\frac19)e^{3x}}\)
Solution détaillée
Recherche de la solution générale \(u_H\) de l'ESSM :
\(xu' + (3x + 2) u = 0\)
pour \(u\neq0~~\frac{u'}u=-\frac{3x+2}{x}=-3-\frac2x\)
Par intégration :
\(\ln|u|=-3x-2\ln|x|+k~~(k\in\mathbb R)\)
\(|u|=e^k\frac{e^{-3x}}{x^2}\)
\(\boxed{u_H=\lambda\frac{e^{-3x}}{x^2} avec \lambda = \pm e^k}\)
Recherche de la solution particulière \(u_p\) de l'EASM :
\(xu' + (3x + 2) u = -1\)
Méthode de "variation de la constante" :
Posons : \(u_p = \lambda(x) e^{-3x} / x^2\) d'où
\(x[\lambda'(x)\frac{e^{-3x}}{x^2}+\lambda(x)\frac{(-3)e^{-3x}}{x^2}-2\lambda(x)\frac{e^{-3x}}{x^3}]+(3x+2)\frac{\lambda(x)e^{-3x}}{x^2}=-1\)
après simplification : \(\lambda'(x) = -x e^{+3x}\)
Une intégration par parties conduit à :
\(\lambda(x)=-\frac x3e^{3x}+\frac13\int e^{3x}dx=(-\frac x3 + \frac19)e^{3x}\)
d'où
\(u_p(x)=\lambda(x)\frac{e^{-3x}}{x^2}=\frac1{x^2}(-\frac x3+\frac19)=-\frac1{3x}+\frac1{9x^2}\)
Solution générale \(u(x)\) de l'équation différentielle linéaire :
\(u(x)=u_H+u_p=\frac{\lambda e^{-3x}}{x^2}-\frac1{3x}+\frac1{9x}\)
\(\boxed{u(x)=\frac{Ke^{-3x}-3x+1}{9x^2}~~(K=3\lambda\in\mathbb R)}\)
Question
Donner la solution de l'équation différentielle de Riccati.
Aide simple
A l'aide de \(u(x)\) exprimer la solution \(z(x)\) de l'équation différentielle de Bernoulli.
Aide détaillée
Connaissant \(z(x)\) et la solution particulière \(y_p,\) remonter à \(y(x).\)
Aide à la lecture
Il faut remonter à la fonction \(y(x).\)
Solution simple
Solution de l'équation de Bernoulli :
\(\boxed{z(x)=\frac{9x^2}{Ke^{-3x}-3x+1}}\)
Solution de l'équation de Riccati :
\(\boxed{z(x)=\frac{9x^2}{Ke^{-3x}-3x+1} + 3x+1}\)
Solution détaillée
Connaissant la solution générale \(u(x)\) de l'équation différentielle linéaire, nous en déduisons la solution de l'équation de Bernoulli
\(z(x)=\frac1{u(x)}=\frac{9x^2}{Ke^{-3x}-3x+1}\)
A partir de \(z(x)\) et de la solution particulière \(y_p\) de l'équation différentielle de Riccati, nous avons la solution finale :
\(\boxed{y(x)=z(x)+y_1=\frac{9x^2}{Ke^{-3x}-3x+1} + 3x+1}\)