Equations différentielles de Bernoulli
Définition :
Une équation différentielle de Bernoulli est de la forme :
\(\color{red}a(x) y' + b(x) y = c(x) y^{\alpha}\)
où \(a,\) \(b\) et \(c\) sont des fonctions continues de \(x\); \(\alpha\) une constante réelle différente de \(0\) à \(1\) (en effet pour \(\alpha = 0\) et \(\alpha = 1\) l'équation est linéaire).
La solution évidente \(y = 0\) ne sera pas retenue.
Pour les valeurs de \(x\) où le coefficient \(a(x)\) ne s'annule pas, nous pourrons diviser par \(a(x)\) :
\(\color{red}y' + A(x) y = B(x) y^{\alpha}~~\color{blue} (E)\)
Exemple :
\(xy'+y=y^2\ln x\)
\(y-\frac x2y'=\sqrt y\)
\(y'-y=xy^6\)
Résolution
Divisons les deux membres de l'équation par \(y^{\alpha} \neq 0\)
\(\frac{y'}{y^\alpha}+A(x)\frac1{y^{\alpha-1}}=B(x)\)
Le changement de fonction inconnue :
\(z(x)=\frac1{y^{\alpha-1}}=y^{1-\alpha}\Leftrightarrow z'(x)=\frac{(1-\alpha)}{y^\alpha}y'\)
transforme l'équation proposée en une équation différentielle linéaire :
\(\frac{z'}{1-\alpha}+A(x)z=B(x)\)
La résolution de celle-ci donne \(z(x)\) puis la solution de l'équation différentielle de Bernoulli : \(\color{red} y(x)=z(x)^{\frac1{1-\alpha}}\)
Exemple :
Résoudre, pour \(x > 0,\) l'équation différentielle
\((E) : x y' + y = y^2 \ln x\)