Equations différentielles à variables séparables
Définition :
Une équation différentielle, du premier ordre \(F(x, y, y') = 0,\) à variables séparables peut se mettre sous la forme \(\color{red}y'=\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}\)
qui peut s'écrire sous une forme plus symétrique : \(\color{red}g(y) dy = f(x) dx .\)
Résolution
Si \(G(y)\) et \(F(x)\) sont des primitives des fonctions \(f\) et \(g,\) alors par intégration de chaque membre : \(\color{red}\int g(y)dy=\int f(x)dx\)
on obtient l'équation cartésienne des courbes intégrales \(\color{red}G(y) = F(x) + C\) où \(C \in\mathbb R\)
Remarque :
il n'est pas toujours possible d'expliciter \(y\) en fonction de \(x.\)
Exemple :
Résolution de l'équation\(x (x-1) y' - y (y-1) = 0\)