Equations différentielles homogènes
Définition :
On appelle équation différentielle homogène du premier ordre, une équation de la forme qui résolue en y' conduit à \color{red}(E)~~y'=f(\frac yx)
Une fonction \varphi(x, y) est dite fonction homogène de degré n si : \forall t\in\mathbb R,\forall n\in\mathbb R_+^* :\color{red}\varphi(tx,ty)=t^n\varphi(x,y)
Exemple :
\varphi_1(x,y)=\sqrt{x+y} est homogène de degré 1/2.
\varphi_2(x,y)=\sin\frac yxest homogène de degré 0.
\varphi_3(x,y)=\frac1{x^2+y^3} est homogène de degré -3.
Résolution
On résout \color{blue}(E) sur R_-^* et R_+^* en introduisant une nouvelle fonction inconnue de la variable x :t(x)=\frac{y(x)}x notée simplement t=\frac yxou y = tx.
L'équation résolue en y'=f(\frac yx)=f(t), associée à la relation :y'=\frac{dy}{dx}=\frac{d(tx)}{dx}=x\frac{dt}{dx}+t conduit à l'équation différentielle à variables séparables.
\color{red}t+x\frac {dt}{dx}=f(t)~~~~(E_1)
Si \color{red}f(t) - t \neq 0, l'équation (E_1) s'écrit :
\frac{dx}x=\frac{dt}{f(t)-t}
par intégration :
\color{blue}\ln|x|=\int\frac{dt}{f(t)-t}=F(t)+K
d'où
\color{red}x=Ce^{F(t)},~~y=Cte^{F(t)}
Nous obtenons une représentation paramétrique des courbes intégrales. Ces courbes dépendent d'une constante arbitraire C et sont homothétiques de l'une d'elles par les homothéties de centre O.
Si \color{red}f(t) - t = 0, pour une valeur t_0 alors f(t_0) = t_0 définit une ou plusieurs valeurs de t qui donnent une ou plusieurs droites, dites singulières, d'équations y = t_0x.
Sur ces droites, on a y' = t_0,~\frac yx=t_0 et la relation y'=f(\frac yx) est vérifiée.
Exemple :
Résolution sur \mathbb R^* de l'équation :
(e)~~ y'x^2 - 2xy + y^2 = 0