Équations différentielles du 1er ordre

Paramétrons la courbe cartésienne d'équation \(F(Y, Z) = 0\) sous la forme :

\(\color{red}Y = \varphi(t)\) et \(\color{red}Z = \psi(t)\)

Si la fonction \(y\) est solution de \((E),\) alors : \(y = \varphi(t)\) et \(y' = \psi(t)\)

et on en déduit :

\(\frac{dx}{dt} = \frac{dx}{dy}.\frac{dy}{dt}=\frac{1}{(dy/dx)}.\frac{dy}{dt}=\frac{\varphi'(t)}{\psi(t)}\)

d'où

\(\color{red}x(t)=\int\frac{\varphi'(t)}{\psi(t)}dt=G(t)+C~~\color{black}(C\in\mathbb R)\)

\(\color{red}y(t)=\varphi(t)\)

Les courbes intégrales de \((E)\) sont données par les équations paramétriques : \(\begin{cases}x(t)=G(t)+C\\y(t)=\varphi(t)\end{cases}\)

où \(G(t)\) est une primitive particulière de \(\varphi(t) / \psi(t)\)

Elles se déduisent les unes des autres par des translations parallèles à l'axe \(Ox.\)

Paramétrons la courbe cartésienne d'équation \(F(X,Z) = 0\) sous forme \(\color{red}X = \varphi(t)\) et \(\color{red}Z = \psi(t)\)

Si la fonction \(y\) est solution de \((E),\) alors : \(X = \varphi(t)\) et \(y' = \psi(t)\) et on en déduit :

\(\frac{dy}{dt}= \frac{dy}{dx}.\frac{dx}{dt}=\psi(t).\varphi'(t)\)

d'où

\(x(t) = \varphi(t)\)

\(y(t) =  ?\psi(t) \varphi '(t) dt + C = H(t) + C~~ (C \in\mathbb R)\)

Les courbes intégrales de \((E)\) sont données par les équations paramétriques \(\begin{cases}x(t)=\varphi(t)\\y(t)=H(t)+C\end{cases}\)où \(H(t)\) est une primitive particulière de \(\psi(t)\varphi'(t).\)

Elles se déduisent les unes des autres par des translations parallèles à l'axe \(Oy.\)