Généralités
Définition :
On appelle équation différentielle (ED), d'ordre \(n\), toute relation de la forme :
\(F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0\)
liant une fonction inconnue \(y\) de la variable \(x\) et ses fonctions dérivées successives \(y',y'',\ldots,y^{(n)}.\)
Exemple :
\(\begin{array}{|l|l|}\hline ED du 1er ordre&\begin{array}{l}xy'+y-y^2\ln x= 0\\r'\sin2\theta-2r\cos2\theta=0\\L\frac{di}{dt}+Ri-E=0\end{array}\\\hline ED du 2ème ordre&\begin{array}{l}y''-3y'+2y=0\\J\ddot{\theta}+C\dot{\theta}=0\\m\ddot{x}+\mu\dot{x}+kx-mg=0\end{array}\\\hline ED du 3ème ordre&y'''+y=\sin 2x\\\hline ED du 4ème ordre&y^{(4)}-2y''+y=9e^{2x}\\\hline ED du nième ordre&(1-x^2)y^{(n)}-(2x-3)xy^{(n-1)}-(n-2)^2y^{(n-2)}=0\\\hline\end{array}\)
Définition :
L'équation différentielle est résolue (ou normaliser) par rapport à \(y(n)\) si la relation précédente peut se mettre sous la forme :
\(y^{(n)}=f(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)})\)
Exemple :
\(y'''+y'=\sin2x\) se ramène à \(y'''=-y'+\sin2x\)
\((x+1)^2(xy'-y)+2x+1=0\) se ramène à \(y'=\frac yx-\frac{2x+1}{x(x+1)^2}\)
avec problème de raccords en \(-1\) et \(0.\)
\(y+xy'+\ln y'=0\) ne conduit pas simplement à une équation normalisée
Définition :
On appelle intégrale ou solution de l'équation sur un intervalle \(I,\) toute fonction \(y = f(x),\) \(n\) fois dérivable sur \(I,\) vérifiant :
\(F(f(x),f(x),f'(x),f''(x),\ldots,f ^{(n)}(x))=0~~~~\forall x \in I\)
La courbe plane définie par \(y = f(x)\) se nomme courbe intégrale.
Exemple :
\(y(x)=\frac1{1+\ln x}\) est une solution de \(xy'+y-y^2\ln x=0\)
\(r(\theta)=\sin2\theta\) est une solution de \(r'\sin2\theta-2r\cos\theta=0\)
\(i(t)=e^{-\frac{R}{L}t}+\frac ER\) est une solution de \(L\frac{di}{dt}+Ri-E=0\)
\(y(x)=e^x\) est une solution de \(y''-3y'+2y=0\)
\(\theta(t)=\cos\sqrt{\frac CJ}t\) est une solution de \(J\ddot{\theta}+C{\theta}=0\)
\(x(t)=\frac{mg}k\) est une solution de \(m\ddot{x}+\mu\dot{x}+kx-mg=0\)
\(y(x)=\frac16\cos2x\) est une solution de \(y'''+y'=\sin 2x\)
\(y(x)=e^{2x}\) est une solution de \(y^{(4)}-2y''+y=9e^{2x}\)
\(y(x)=(\arcsin x)^2\text{ est une solution de }\) \((1-x^2)y^{(n)}-(2n-3)xy^{(n-1)}-(n-2)^2y^{(n-2)}=0\)
Définition :
Résoudre ou intégrer une équation différentielle sur un intervalle\( I,\) c'est trouver l'ensemble de toutes les solutions.
Exemple :
\(r' \sin2\theta - 2r \cos2\theta = 0\) a pour solution \(r(\theta) = K \sin2\theta ~~(K \text{ cste})\)
\(J\ddot{\theta}+C\theta=0\) a pour solution, avec \(\omega_0^2 = C /J\)
\(\theta(t) = K_1 \cos \omega _0t + K_2 \sin \omega _0t~~\text{ ou }~~\theta(t) = K_1 \cos (\omega _0 t+ \varphi )\)
Définition :
La solution générale d'une équation différentielle d'ordre \(n,\) dépend de \(n\) constantes arbitraires :
\(y=f(x,C_1,C_2,\ldots,C_n)\)
Exemple :
\(\begin{array}{|l|l|l|}\hline ED du 1er ordre&L\frac{di}{dt}+Ri-E=0&i(t)=Ce^{-\frac RLt}+\frac ER\\\hline ED du 2ème ordre&y''-3y'+2y=0&y(x)=C_1e^x+C_2e^{2x}\\\hline ED du 3ème ordre&y'''+y=\sin 2x&y(x)=\frac16\cos2x+C_1+C_2\cos x+C_3\sin x\\\hline ED du 4ème ordre&y^{(4)}-2y''+y=9e^{2x}&y(x)=e^{2x}+(C_1x+C_2)e^x+(C_3x+C_4)e^{-x}\\\hline\end{array}\)
Définition :
Pour certaines valeurs des constantes arbitraires, on obtient des intégrales particulières. Il faut connaître \(n\) conditions supplémentaires (dites initiales quand la variable est nulle) pour une équation différentielle d'ordre \(n.\)
Exemple :
La solution de : \(r' \sin2\theta - 2r \cos2\theta = 0\) qui vérifie \(r (\pi/4) = 2\) est \(r = 2 \sin2\theta\)
La solution de : \(y'' - 3 y' + 2y =\) qui vérifie \(y(0) = 2\) et \(y' (0) = -1\) est \(y = 5 e^x - 3 e^{2x}\)
La solution de : \(y''' + y' = \sin2x\) vérifiant \(y(\pi) = 1/6 ,\) \(y'(\pi) = -1\) et \(y''(\pi) = 1/2\) est \(y=\frac16\cos2x+1+\cos x+\sin x\)
Définition :
Dans certains cas, l'intégrale générale ne représente pas toutes les solutions de l'équation différentielle : il existe alors des intégrales dites singulières.
Exemple :
L'équation différentielle \(y = x y' + y'^2\) (ED de Clairaut) a pour intégrale générale \(y = \lambda x + \lambda^2.\) Les courbes intégrales \(C_{\lambda}\) forment une famille de droites de paramètre. Ces courbes \(C_{\lambda}\) admettent une parabole enveloppe de ces droites, d'équation \(y = - x^ 2 /4\) représentant l'intégrale singulière.