Equations différentielles linéaires
Définition :
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme :
\(\color{blue}(e)~~\color{red} a(x) y'(x) + b(x) y(x) = f(x)\)
où \(a,\) \(b\) et \(f\) sont des fonctions continues de la variable \(x\) sur un intervalle \(I\in\mathbb R\); \(a(x)\) et \(b(x)\) sont appelés coefficients et \(f(x)\) le second membre.
Pour tout intervalle \(I,\) où \(a(x)\) ne s'annule pas, l'équation \(\color{blue}(e)\) peut être résolue (ou normalisée) en \(y'(x).\) Un problème "de raccord" des solutions est envisagé aux points en lesquels le coefficient pourrait s'annuler.
\(\color{blue}(E)~~\color{red}y'(x) + A(x) y(x) = F(x)\)
On associe à l'équation \(\color{blue}(e)\) ou \(\color{blue}(E)\) avec second membre (\(\color{red}\text {EASM}\)), l'équation \(\color{blue}(e_0)\) ou \(\color{blue}(E_0)\) sans second membre (\(\color{red}\text{ESSM}\)) dite parfois "équation homogène" associée à \(\color{blue}(e)\) ou \(\color{blue}(E)\), qualificatifs pouvant prêter à confusion avec les équations homogènes \(y' = f (y/x).\)
\(\color{blue}(e_0)~~\color{black} a(x) y'(x) + b(x) y(x) = 0\)
\(\color{blue}(E_0)~~\color{black} y'(x) + A(x) y(x) = 0\)
Théorème :
La solution générale \(y\) de \(\color{blue}(E)\) est la somme de la solution générale \(\color{red}y_H\) de \(\color{blue}(E_0)\) et d'une solution particulière \(\color{red}y_p\) de \(\color{blue}(E)\)
Résolution
En effet, \(y\) solution générale de \(\color{blue}(E)\) vérifie :
\(y'(x) + A(x) y(x) = F(x)\)
de même \(\color{red}y_p\color{black},\) solution particulière de \(\color{blue}(E)\) :
\(\color{red}y_p\color{black}'(x) + A(x) \color{red}y_p\color{black}(x) = F(x)\)
Par soustraction des deux équations différentielles précédentes, nous obtenons :
\([y'(x) - \color{red}y_p\color{black}'(x)] + A(x) [y(x) - \color{red}y_p\color{black}(x)] = 0 ~~\color{blue}(E_0)\)
\([y(x) - y_p(x)]' + A(x) [y(x) - \color{red}y_p\color{black}(x)] = 0 ~~\color{blue}(E_0)\)
En posant \(y_H = y - \color{red}y_p\color{black} ,\) cette solution vérifie l'équation homogène \(\color{blue}(E_0)\) et par suite : \(y = y_H + y_p.\)
Résolution de l'équation sans second membre (ESSM)
L'équation \(\color{blue}(E_0)\) est à coefficient variable :\(y'(x) + A(x)y(x) = 0\)
L'intégrale de cette équation à variables séparables nous donne \(y_H=Ke^{-\int A(x)dx}\) avec \(K\in\mathbb R\)
Comme \(A(x)\) est continue sur \(I,\) les primitives de \(A(x)\) seront : \(G(x)=\int_{x_0}^xA(t)dt\) où \(x_0\) est fixé dans \(I.\)
d'où \(\color{red}y_H = Ke ^{−G(x)} ,~ K \in\mathbb R\)
En effet, si
\(\color{red}y_H\color{black}' + A(x) y(x) = 0\)
\([y'(x) + A(x) y(x)] e^{G(x)} = 0\)
\((\color{red}y_H\color{black}(x) e^{G(x)} )' = 0\)
\(\color{red}y_H\color{black}(x) e^{G(x)} = K~~ K \in\mathbb R\)
et \(\color{red}y_H(x) = K e^{ −G(x)}~~ K \in\mathbb R\)
Exemple :
Résoudre : \(y' - 2xy = 0\)
La solution est immédiate :
\(\boxed{y_H=Ke^{\int2xdx}=Ke^{x^2}~~(K\in\mathbb R)}\)
Résoudre : \(y' + e^{x^3}y = 0\)
La méthode de résolution ne conduit pas à une fonction classique car :
\(\boxed{y_H=Ke^{-G(x)} avec K\in\mathbb R et G(x)=\int_0^xe^{t^3}dt}\)
intégrale calculable par une méthode numérique.
L'équation \(\color{blue}(E_0)\) est à coefficient constant
\(y'(x) + A y(x) = 0\)
La solution est de la forme : \(\color{red}y_H=Ke^{-\int Adx}=Ke^{-Ax}~~\color{black}(K\in\mathbb R)\)
Exemple :
Résoudre \(\color{blue}y' - 2y = 0\)
La résolution est immédiate et conduit à \(\color{blue}y_H = K e^{2x}~~\color{black} (K\in\mathbb R)\)
Résolution de l'équation avec second membre (EASM)
L'application du théorème, à la résolution de cette équation différentielle complète nécessite la connaissance de \(\color{red}y_H\) solution générale de \(\color{blue}(E_0)\) définie précédemment et celle de \(\color{red}y_p\) solution particulière de \(\color{blue}(E)\) qui reste à déterminer.
La recherche de \(\color{red}y_p\) sera toujours plus aisée dans le cas où \(A(x)\) est une constante car \(\color{red}y_p\) sera une fonction de même type que le second membre.
La racine est évidente à la simple vue de l'équation
Exemple :
Exemples où \(A(x)\) est une fonction de \(x.\)
\(y' - xy = x~~\) solution : \(~~\color{red}y_p = -1\)
\(y' + \tan x y = 1 + x \tan x~~\) solution : \(~~\color{red}y_p = x\)
Exemples où \(A(x)\) est une constante.
\(y' + y = e ^{2x}~~\) solution : \(~~\color{red}y_p = e^{2x} / 3\)
\(y' - y = - x~~\) solution : \(~~\color{red}y_p = x + 1\)
Il est possible de prévoir la forme de la solution particulière pour un second membre donné
\(\begin{array}{|c|c|}\hline \color{red}\textrm{Forme du second membre }F(x) & \color{red}\textrm{Forme de la solution particulière }y_p\\\hline C\textrm{ constante}&C/A\textrm{ constante}\\\hline P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0&Q_n(x)=\alpha_nx^n+\alpha_{n-1}x^{n-1}+\ldots+\alpha_0\\\hline ae^{nx}&he^{nx}\\\hline\begin{array}{c}A\cos\omega x+B\sin\omega x\\C\cos(\omega t+\varphi_c)\\E\sin(\omega t+\varphi_s) \end{array}&\begin{array}{c}A\cos\omega x+B\sin\omega x\\C\cos(\omega t+\phi_c)\\E\sin(\omega t+\phi_s) \end{array} \\\hline\end{array}\)
Les constantes \(\alpha_ n,\) \(h,\) \(\lambda,\) \(\mu,\) \(D,\) \(F,\) \(\phi_c\) et \(\phi_ s\) figurant dans la solution particulière \(\color{red}y_p\) seront exprimées en fonction des constantes \(a_n,\) \(a,\) \(A,\) \(B,\) \(C,\) \(E,\) \(\varphi_ c\) et \(\varphi_ s\) du second membre par identification après report de \(\color{red}y_p\) dans l'équation complète \(\color{blue}(E)\).
Exemple :
Principe de superposition des solutions
Pour un second membre de la forme \(F(x)=\sum_{i=1}^nf_i(x)\)combinaison linéaire de plusieurs foncions \(f_i ,\) la solution particulière de l'EASM sera déterminée par \(\boxed{\color{blue}y_p=\sum_{i=1}^ny_{pi}}\)avec \(y_{pi}\) solution particulière de \((Ei) : y_{pi}'(x) + A(x) y_{pi}(x) = f _i (x)\)
Exemple :
Recherche de la solution particulière de l'équation
\((E)~~ y' + y = e ^{2x} - x + \cos x \sin x\)
En dissociant le second membre, nous obtenons :
\((E_1) : y_{p1}'+y_{p1}=e^{2x}\) avec \(y_{p1}=\frac{e^{2x}}3\)
\((E_2) : y_{p2}'+y_{p2}=-x\) avec \(y_{p2}=-x+1\)
\((E_3) : y_{p3}'+y_{p3} = \cos x + \sin x\) avec \(y_{p3}=\sin x\)
d'où
\(y_p=\sum_{i=1}^3y_{pi}=\frac{e^{2x}}3-x+1+\sin x\)
Méthode "de variation de la constante" de LAGRANGE
La tradition veut que ce vocabulaire, pour le moins surprenant, soit utilisé pour rechercher, soit la solution particulière \(\color{red}y_p\) de \(\color{blue}(E)\), soit la solution générale \(\color{red}y\) de \(\color{blue}(E)\).
Cherchons la solution particulière \(\color{red}y_p\color{black}\) de l'EASM sous la forme : \(\color{red}y_p\color{black} = K(x) e^{ −G(x)}\) où la constante \(K\) de \(\color{red}y_H\color{black}\) est remplacée par une fonction de \(x.\)
La solution \(\color{red}y_p\color{black}\) vérifie l'équation différentielle complète \(\color{blue}(E)\) d'où :
\(\color{red}y_p\color{black}'(x) + A(x)\color{red}y_p\color{black}(x) = F(x)\)
\(K'(x) e ^{−G(x)} - K(x) G'(x) e ^{−G(x)} + A(x) K(x) e ^{−G(x)} = F(x)\)
après simplification sachant que \(G'(x) = A(x)\)
\(K'(x) e ^{−G(x)} = F(x) \Leftrightarrow K'(x) = F(x) e^{ −G(x)}\)
Si \(H(x)\) est une primitive du second membre par intégration : \(K(x)=\int F(x)e^{G(x)}dx=H(x)\)
d'où la solution particulière :
\(\color{red}y_p(x)\color{black} = K(x) e^{ −G(x)} =\color{red} H(x) e^{ −G(x)}\)
La solution générale de \(\color{blue}(E)\) s'écrit :
\(\color{red}y\color{black} = \color{red}y_H\color{black} + \color{red}y_p\color{black} = K e^{ −G(x)} + H(x) e^{ −G(x)}\)
Exemple :
Enoncé
Résolution de l'ESSM
Résolution de l'EASM
1er cas : tension constante
2ème cas : tension sinusoïdale
Cette méthode s'applique à la recherche de la solution générale \(\color{red}y\) de l'EASM, à condition d'introduire une constante lors de l'intégration de \(K'(x).\) En effet, en posant \(y = K(x) e^{ −G(x)}\) la forme de la solution générale de \(\color{blue}(E)\), un raisonnement identique à celui utilisé pour \(\color{red}y_p\color{black}\) nous conduit à:
\(K(x)=\int F(x)e^{+G(x)}dx=H(x)+C~~(C\in\mathbb R)\)
La solution générale devenant :
\(\color{red}y\color{black} = K(x) e ^{−G(x)} = ( H(x) + C )e^{ −G(x)} = C e ^{−G(x)} + H(x) e^{ −G(x)} = \color{red}y_H\color{black} + \color{red}y_p\color{black}\)