Equations différentielles de Riccati

Définition

Une équation différentielle de Riccati est de la forme :

a, b, c et d sont des fonctions continues de x.

Pour les valeurs de x où le coefficient a(x) ne s'annule pas, nous obtenons après simplification :

\color{red}y' + A(x) y = B(x) y^2 + C(x)~~\color{blue} (E)

Si C(x) = 0, nous retrouvons un cas particulier d'équation de Bernoulli (\alpha = 2).

Exempled'équations différentielles de Riccati

x^3y'+y^2+yx^2+2x^4=0~~(y_p=-x^2)

(y'-y^2)\cos x + y(2\cos^2x+\sin x)=\cos^3x~~(y_p=\cos x)

(x^2+1)y'=y^2-1~~(y_p=1)

Résolution

  • L'intégration d'une équation différentielle de Riccati nécessite la connaissance d'une solution particulière y_p de cette équation

  • Le changement de fonction inconnue : z(x) = y(x) - y_p(x) transforme l'équation différentielle :

    \color{red}y' + A(x) y = B(x) y^2 + C(x)~~\color{blue} (E)

    en

    (z + y_p)' + A(x)(z + y_p) = B(x)(z + y_p)2 + C(x)

    z' + A(x)z + y_p' + A(x)y_p = B(x)z^2 + 2B(x)zy_p + B(x)y_p^2 + C(x)

    Or y_p solution particulière de l'équation de Riccati vérifie :

    y_p' + A(x) y_p = B(x) y_p^2 + C(x)

  • Cette simplification nous conduit à l'équation de Bernoulli (\alpha = 2) :

    \color{red}z' + [A(x) - 2B(x)y_p] z = B(x)z^2~~\color{blue} (E')

    On posera un nouveau changement de fonction u(x) = 1 / z(x) pour se ramener à une équation différentielle linéaire en u(x) :

    \color{red}-u' + [A(x) - 2B(x)y_p] u = B(x)~~\color{blue} (E'')

    Après résolution de cette dernière équation, la solution y(x) de l'équation de Riccati sera obtenue par :

    \color{blue}y(x) = z(x) + y_p(x)

    avec z(x) = 1 / u(x) et où y_p(x) est donné.

Exemple

Résoudre, l'équation différentielle (E) : x^3 y' + y^2 + yx^2 + 2x^4 = 0~~ (y_p = -x^2)