Equations différentielles à variables séparables et linéaires
Partie
Question
Intégrer l'équation différentielle \((1-x^2)y'+2xy=4x\)en la considérant comme une équation différentielle à variables séparables. Montrer que les courbes intégrales passent par deux points fixes.
Aide simple
Mettre cette équation sous la forme : \(g(y)dy=f(x)dx.\)
Aide détaillée
Sachant que \(g(y)=\frac1{2-y}\) et \(f(x)=\frac{2x}{1-x^2},\) procéder à l'intégration de chaque membre : \(\int g(y)dy=\int f(x)dx\)
Solution simple
Après intégration, nous obtenons : \(y=2+\mu(1-x^2),~~\mu\in\mathbb R\)
Les courbes intégrales passent par les points fixes \((-1,2)\) et \((1,2).\)
Solution détaillée
- Nous obtenons par séparation des variables :
\((1-x^2)\frac{dy}{dx}=4x-2xy=2x(2-y)\Leftrightarrow \frac{dy}{2-y}=\frac{2x}{1-x^2}dx\)
par intégration :
\(\int\frac{dy}{2-y}=\int\frac{2x}{1-x^2}dx\Leftrightarrow \ln|2-y|=\ln|1-x^2|+C,~~C\in\mathbb R\)
ou \((2-y)=\lambda(1-x^2),~~\lambda\in\mathbb R\Leftrightarrow y = 2+\mu(1-x^2),~~\mu\in\mathbb R\)
- \(\forall \mu\in\mathbb R,\) pour \(x=\pm1 ;y=2.\) Toutes les courbes intégrales passent par les points fixes .\((-1,2)\) et \((1,2).\)
Question
Intégrer l'équation différentielle \((1-x^2)y'+2xy=4x\) en la considérant comme une équation différentielle linéaire.
Quelles sont les courbes intégrales passant par les points: \((0,0),~(0,2)\) ?
Aide simple
Pour trouver la solution, appliquer le théorème sur la résolution des équations différentielles linéaires.
Aide détaillée
En posant:
\(y_0\) la solution générale de l'ESSM
\(y_1\) la solution particulière de l'EASM
\(y\) la solution générale de l'ESSM.
D'après le théorème: \(y=y_0+y_1\)
Rappel de cours
Voir la page Equations différentielles linéaires
Solution simple
Solution générale de l'ESSM: \(y_0=\mu(1-x^2),~~\mu\in\mathbb R\)
Solution particulière de l'EASM: \(y_1=2\)
Solution générale de l'EASM: \(y=2+\mu(1-x^2)\)
La courbe d'équation \(y=2x^2\) passe par le point \((0,0).\)
La courbe d'équation \(y=2\)passe par le point \((0,2).\)
Solution détaillée
Soit \(y_0\) la solution généale de l'ESSM: \((1-x^2)y'+2xy=0\)d'où :
\((1-x^2)\frac{dy}{dx}=-2xy\Leftrightarrow \frac{dy}{y}=\frac{-2x}{1-x^2}dx\) qui par intégration conduit à:
\(\int\frac{dy}{y}=\int\frac{-2xdx}{1-x^2}\Leftrightarrow \ln|y|=\ln|1-x^2|+C,~~C\in\mathbb R\)
\(\Leftrightarrow y_0=\mu(1-x^2)\)
La solution particulière \(y_1=2\)de l'EASM est évidente.
La solution générale de l'EASM est donc \(y=2+\mu(1-x^2),~~\mu\in\mathbb R.\)
\(\begin{array}{l}Au point (0,0), on a : 0=2+\mu\Rightarrow \mu=-2 et y=2-2(1-x^2)=2x^2\\Au point (0,2), on a : 2=2+\mu\Rightarrow\mu=0 et y=2\end{array}\)
\(\underbrace{\text{courbes intégrales}}\)