Équations différentielles du 1er ordre

Après intégration, nous obtenons : \(y=2+\mu(1-x^2),~~\mu\in\mathbb R\)

Les courbes intégrales passent par les points fixes \((-1,2)\) et \((1,2).\)

- Nous obtenons par séparation des variables :

\((1-x^2)\frac{dy}{dx}=4x-2xy=2x(2-y)\Leftrightarrow \frac{dy}{2-y}=\frac{2x}{1-x^2}dx\)

par intégration :

\(\int\frac{dy}{2-y}=\int\frac{2x}{1-x^2}dx\Leftrightarrow \ln|2-y|=\ln|1-x^2|+C,~~C\in\mathbb R\)

ou \((2-y)=\lambda(1-x^2),~~\lambda\in\mathbb R\Leftrightarrow y = 2+\mu(1-x^2),~~\mu\in\mathbb R\)

- \(\forall \mu\in\mathbb R,\) pour \(x=\pm1 ;y=2.\) Toutes les courbes intégrales passent par les points fixes .\((-1,2)\) et \((1,2).\)

Solution générale de l'ESSM: \(y_0=\mu(1-x^2),~~\mu\in\mathbb R\)

Solution particulière de l'EASM: \(y_1=2\)

Solution générale de l'EASM: \(y=2+\mu(1-x^2)\)

La courbe d'équation \(y=2x^2\) passe par le point \((0,0).\)

La courbe d'équation \(y=2\)passe par le point \((0,2).\)

Soit \(y_0\) la solution généale de l'ESSM: \((1-x^2)y'+2xy=0\)d'où :

\((1-x^2)\frac{dy}{dx}=-2xy\Leftrightarrow \frac{dy}{y}=\frac{-2x}{1-x^2}dx\) qui par intégration conduit à:

\(\int\frac{dy}{y}=\int\frac{-2xdx}{1-x^2}\Leftrightarrow \ln|y|=\ln|1-x^2|+C,~~C\in\mathbb R\)

\(\Leftrightarrow y_0=\mu(1-x^2)\)

La solution particulière \(y_1=2\)de l'EASM est évidente.

La solution générale de l'EASM est donc \(y=2+\mu(1-x^2),~~\mu\in\mathbb R.\)

\(\begin{array}{l}Au point (0,0), on a : 0=2+\mu\Rightarrow \mu=-2 et y=2-2(1-x^2)=2x^2\\Au point (0,2), on a : 2=2+\mu\Rightarrow\mu=0 et y=2\end{array}\)

\(\underbrace{\text{courbes intégrales}}\)