Question 1

Durée : 3 mn

Note maximale : 4

Question

On considère l'équation différentielle: \(y'' + 2a y + (a-2)^{2} y = 0\) (\(a\) : constante réelle).

Déterminer la solution générale dans le cas où \(a = -1\).

Solution

L'équation caractéristique

\(r^{2} + 2a r + (a-2)^{2} = 0\) admet pour discriminant réduit:

\(\Delta' = a^{2} - (a-2)^{2} = 4 (a-1)\) et pour racines \(r = - a \pm 2 \sqrt{a - 1}\).

Dans le cas où \(a = -1\),

nous avons \(\Delta' = -8 = 8j^{2}\) et les racines \( \color{blue} r = + 1 \pm j 2\sqrt{2}\) \(\textcolor{red}{( 2~\textrm{points} )}\).

La solution générale est donc: \(\color{blue} y = e^{x} ( \lambda \cos{2 \sqrt{2} x} + µ \sin{2 \sqrt{2}x} ) \qquad \textcolor{red}{( 2~\textrm{points} )}\)