Somme, différence, produit et puissance de matrices(1)

Durée : 6 mn

Note maximale : 5

Question

On considère les matrices carrées \(A\) et \(B\), d'ordre \(2\), tels que :

\(A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6\end{pmatrix}\),

\(B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}\).

Calculer \(A^{2} - B^{2}\) et \((A + B) (A - B)\).

Conclure.

Solution

\(A^{2} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & 10 \\-25 & 26\end{pmatrix}\)

\(B^{2} =\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -9 \\ -12 & 16 \end{pmatrix}\)

\(\color{blue} A^{2} - B^{2} \color{black} = \begin{pmatrix} -9 & 10 \\ -25 & 26 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 13 & -9 \\ -12 & 16\end{pmatrix} = \color{blue} \begin{pmatrix} -22 & 19 \\ -13 & 10 \end{pmatrix} \qquad \color{red}(2~~\textrm{points})\)

\((A + B) = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -9 & 8\end{pmatrix}\)

\((A - B) = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ -1 & 4\end{pmatrix}\)

\(\textcolor{blue}{(A + B)(A - B)} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -9 & 8\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = \color{blue} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 10 & -13\end{pmatrix} \qquad \color{red}(2~~\textrm{points})\)

Conclusion :

\( \color{red} A^{2} - B^{2}~^{1}~(A + B)(A - B) = A^{2} + BA - AB - B^{2}\qquad (1~~\textrm{point})\)

(En général le produit \(AB\) n'est pas commutatif \(\Leftrightarrow BA~^{1}~AB\))