Inversion de matrices(1)

Durée : 6 mn

Note maximale : 4

Question

Dans le reste de l'exercice, nous allons déterminer l'inverse d'une matrice carrée par 3 méthodes différentes. Pour cela, considérons la matrice carrée \(A\) donnée ci-dessous :

\(A = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}\).

Déterminer l'expression de la matrice \(C = A^{2} - 5A + 4I\) (\(I\) matrice unité d'ordre \(2\)). En déduire l'expression de la matrice inverse \(A^{-1}\) en fonction de \(A\) et \(I\).

Donnez l'expression numérique de \(A^{-1}\).

Solution

\(\textcolor{blue}{C} = \begin{pmatrix} -9 & 10 \\ -25 & 26\end{pmatrix} -5 \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \color{blue} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}~~\textrm{matrice nulle}\quad \color{red}(1~~\textrm{point})\)

Multiplions l'expression par \(A^{-1}\), matrice inverse de \(A\).

\(A A A^{-1} - 5 A A^{-1} + 4 I A^{-1} = A - 5I + 4 A^{-1} = 0\),

d'où \(\color{blue} A^{-1} = \frac{1}{4} ( 5I - A )\qquad\color{red}(2~~\textrm{points})\)

Application numérique :

\(\color{blue} A^{-1} \color{black} = \frac{1}{4} \left( 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6\end{pmatrix} \right) = \color{blue} \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}\qquad\color{red}(1~~\textrm{point})\)