Somme, différence, produit et puissance de matrices(2)
Durée : 6 mn
Note maximale : 5
Question
On considère les matrices carrées \(A\) et \(B\), d'ordre \(2\), tels que :
\(A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6\end{pmatrix}\),
\(B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}\).
Calculer \((A + B)^{2}\) et \(A^{2} + 2AB + B^{2}\).
Conclure.
Solution
\(\color{blue}(A + B)^{2} \color{black}= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -9 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -9 & 8 \end{pmatrix} = \color{blue}\begin{pmatrix} 9 & -8 \\ -72 & 73 \end{pmatrix}\qquad\color{red}(2~~\textrm{points})\)
\(AB = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & 7 \\ -29 & 27 \end{pmatrix}\)
\(\color{blue} A^{2} + 2AB + B^{2} \color{black}= \begin{pmatrix} -9 & 10 \\ -25 & 26 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -9 & 7 \\ -29 & 27 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 13 & -9 \\ -12 & 16 \end{pmatrix} = \color{blue}\begin{pmatrix} -14 & 15 \\ -95 & 96\end{pmatrix} \qquad \color{red} (2~~\textrm{points})\)
Conclusion :
\(\color{red} A^{2} + 2AB + B^{2}~^{1}~(A + B)^{2} = (A + B)(A + B) = A^{2} + BA + AB + B^{2}\qquad(1~~\textrm{point})\)
(Identiquement au cas précédent : \(AB~^{1}~BA\) et \(BA + AB~^{1}~2 AB\))