Inversion de matrices(3)

Durée : 6 mn

Note maximale : 3

Question

Sachant que \(A\) est la matrice de l'application \(f\) de \(R^{2}\) dans lui-même : \(f : (x, y) \overset{f}{\rightarrow} (x', y')\)

En déduire \(A^{-1}\) matrice de l'application inverse \(f^{-1}\) : \(f^{-1} : (x', y') \overset{f^{-1}}{\rightarrow} (x, y)\)

Rappel : \(A = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}\).

Solution

Si \(A\) est la matrice de l'application \(f : (x, y) \overset{f}{\rightarrow} (x', y')\), alors :

\(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\),

soit \(\left\{ \begin{array}{r c l} x' & = & -x + 2y \\ y' & = & -5x + 6y \end{array} \right.\)

La résolution du système conduit à exprimer \(f^{-1} : (x', y') \overset{f^{-1}}{\longrightarrow} (x, y)\) :

\( \begin{array}{r c l} -5x' & = & +5x -10y \\ y' & = & -5x + 6y \\ \hline \\ -5x' + y' & = & -4y \end{array}\)

\(\Rightarrow y = \frac{1}{4} (5x' + y')\) et \(x = -x' + 2y = \frac{3x'}{2} - \frac{y'}{2}\),

d'où \(\begin{array}{r c l} x & = & \frac{6x'}{4} - \frac{2y'}{4} \\ y & = & \frac{5x'}{4} - \frac{y'}{4} \end{array}\qquad\color{red}(2~~\textrm{points}) \Rightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\);

avec\( \color{blue} A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix}6 &- 2 \\ 5 & -1\end{pmatrix}\qquad\color{red}(1~~\textrm{point})\)