Résolution de l'équation différentielle
L'équation différentielle s'écrit :
\(q"(t) + 2 ~\lambda ~q'(t) + \omega_0^2 ~ q(t) = h(t)\)
On montre mathématiquement que la solution générale \(q(t)\) de l'équation différentielle ci-dessus, avec second membre, est égale à la somme de la solution générale de l'équation sans second membre (ESSM), notée \(q_g(t)\), et d'une solution particulière de l'équation avec second membre (EASM), notée \(q_p(t)\). Soit :
\(q(t) = q_g(t) + q_p(t)\)
\(q_g(t)\) est la solution générale de l'équation étudiée dans le cadre d'un oscillateur harmonique amorti (cf. la ressource correspondante). Nous rappelons ci-dessous les trois formes de \(q_g(t)\) en fonction du discriminant réduit \(\Delta' = \lambda^2 - \omega_0^2\) suivant les différents régimes :
Rappelons aussi l'expression de la pseudo-pulsation : \(\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}\).
Recherche de \(q_p(t)\) :
Elle est déterminée par un calcul algébrique, sachant que la forme de la solution particulière est analogue à la forme du second membre.
Dans l'étude des systèmes oscillants, les cas les plus usuels correspondent aux deux excitations suivantes :
l'excitation est uniforme, le second membre de l'équation différentielle est constant :
\(h(t) = H\), la solution particulière s'écrit
\(~q_p = \frac{H}{\omega_0^2}\),
l'excitation est harmonique de pulsation \(\Omega\), le second membre est harmonique de même pulsation \(h(t) = H_m \cos ~\Omega~ t\), la solution particulière s'écrit :
\(q_p(t) = q_{pm} \cos (\Omega ~t + \Phi_p)\)
Dans ce dernier cas, cette solution est déterminée en utilisant la méthode de la représentation complexe des grandeurs réelles sinusoïdales fonction du temps.
Indiquons que cette solution peut être déterminée également par une autre méthode correspondant à un calcul algébrique.
Les termes \(q_{pm}\) et \(\Phi_p\) inconnus sont ainsi déterminés en fonction des caractéristiques du système et de l'excitation.
Remarque :
La solution générale \(q(t)\) dépend de deux constantes \((A,B)\), \((A_c, B_c)\) ou \((q_m, \varphi)\) : elles sont calculées en appliquant les deux conditions initiales du problème à \(q(t)\), c'est-à-dire à la somme \(q_g(t) + q_p(t)\) et non pas à la seule fonction \(q_g(t)\).
Rappel : représentation complexe d'une grandeur réelle sinusoïdale fonction du temps
Définition :
A toute grandeur réelle sinusoïdale fonction du temps \(q(t)\) d'amplitude \(q_m\), de pulsation \(\omega\) et de phase à l'origine du temps \(\varphi\), on associe les deux grandeurs complexes suivantes :
la grandeur complexe fonction du temps notée \(\underline{q(t)}\), de module \(q_m\) et d'argument \(\omega t + \varphi\), telle que \(Re~\underline{q(t)} = q(t)\),
l'amplitude complexe notée \(\underline{Q_m}\), de module \(q_m\) et d'argument \(\varphi\),
telles que :
\(\begin{array}{ccccc} q(t) = q_m \cos (\omega t+\varphi) & \Leftrightarrow & \underline{q(t)} = q_m e^{j (\omega t+\varphi)} & \Leftrightarrow & \underline{Q_m} = q_m e^{j \varphi}\\ \textrm{grandeur réelle instantanée} & & \textrm{grandeur complexe instantanée} & & \textrm{amplitude complexe} \end{array}\)
où \(j\), notation adoptée habituellement en Physique, représente le nombre complexe imaginaire pur \(i = \sqrt{-1}\).
Remarquez la relation entre \(\underline{q(t)}\) et \(\underline{Q_m}\) :
\(\underline{q(t)} = \underline{Q_m} e^{j \omega t}\)
Propriété :
On rappelle les propriétés suivantes.
L'opération dérivation par rapport au temps de la grandeur réelle instantanée, correspond à l'opération multiplication par \(j \omega\) de la grandeur complexe instantanée ou de l'amplitude complexe :
L'opération intégration par rapport au temps de la grandeur réelle instantanée, correspond à l'opération multiplication par \(\frac{1}{j \omega}\) de la grandeur complexe instantanée ou de l'amplitude complexe :
\(\int q(t) dt \Leftrightarrow \frac{1}{j \omega} \underline{q(t )}\Leftrightarrow \frac{1}{j \omega} \underline{Q_m}\)
Remarque :
Il est à noter que dans le cas des oscillateurs électriques, les valeurs efficaces des grandeurs intensité et tension sont généralement utilisées. On définit ainsi l'amplitude efficace complexe \(\underline Q\) :
\(\underline Q = \frac{\underline{Q_m}}{\sqrt{2}} = \frac{q_m}{\sqrt{2}} e^{j \varphi} = q_{eff} ~e^{j \varphi}\)
ou encore, en utilisant la notation phaseur, \(\underline Q\) s'écrit \({q_{eff}}^{\angle{\varphi}}\).