Courbes d'isodensité de l'orbitale 1s
Durée : 10 mn
Note maximale : 5
Question
On se propose de déterminer la surface le long de laquelle la densité de probabilité\(\mid\Psi_{1s}\mid^{2}\)et par suite le module de la fonction d'onde\(\mid\Psi_{1s}\mid\)est de valeur constante. On donne pour l'orbitale 1s :
\(\Psi_{1s}(r,\theta,\varphi) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\bigg(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{3/2} \exp(-Z~r/\textrm{a}_{0})\)
Soit\(\textrm{f}\)la valeur choisie de\(\mid\Psi_{1s}\mid^{2}\).
Donner l'équation de la sphère sur lequel la densité volumique vaut \(\textrm{f}\).
Calculer le rayon des sphères sur lesquelles la densité vaut \(\textrm{f} = 10^{-3}\AA^{-3}\)pour H, \(\textrm{He}^{+}\)et\(\textrm{Li}^{++}\)respectivement.
Solution
On exprime d'abord le fait que\(\textrm{f}\)est la valeur de la densité volumique :
\(\mid\Psi_{1s}\mid^{2} = \frac{1}{\pi}\bigg(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{3}\exp(-2~Z~r/\textrm{a}_{0}) = \textrm f\)
On exprime alors le rayon de la sphère en fonction de\(\textrm{f}\) :
\(\exp(-2~Z~r/\textrm{a}_{0}) = \bigg[\bigg(\frac{\textrm{a}_{0}}{Z}\bigg)^{3} \pi~ \textrm{f}\bigg]\)
\(-2~Z~r/\textrm{a}_{0} = \ln \bigg[\bigg(\frac{\textrm{a}_{0}}{Z}\bigg)^{3} \pi~ \textrm{f}\bigg]\)
\(r = - \frac{\textrm{a}_{0}}{2Z}\ln\bigg[\bigg(\frac{\textrm{a}_{0}}{Z}\bigg)^{3} \pi~ \textrm{f}\bigg] = \frac{\textrm{a}_{0}}{2Z}\ln\bigg[\frac{1}{\pi~ \textrm{f}}\bigg(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{3}\bigg]\)
Applications numériques : pour une sphère de densité\(\textrm{f} = 10^{-3}\AA^{-3}\), on trouve :
\(r =\mathrm{2,03}\AA\)pour l'hydrogène,
\(r =\mathrm{1,28}\AA\)pour l'ion\(\textrm{He}^{+}\).
\(r =\mathrm{0,97}\AA\)pour l'ion\(\textrm{Li}^{++}\).