Suites bornées, suites stationnaires, suites périodiques

DéfinitionSuites majorées, minorées, bornées

Une suite réelle \((u_n)\) est

  • majorée s'il existe un réel \(m_1\) tel que, pour tout entier \(n\) on ait \(\displaystyle{u_n\leq m_1}\)

  • minorée s'il existe un réel \(m_2\) tel que, pour tout entier \(n\) on ait \(\displaystyle{u_n\geq m_2}\)

  • bornée s'il existe un réel \(M\) tel que, pour tout entier \(n\), on ait . \(\vert u_n\vert\leq M\)

On traduit cette dernière propriété en langage formalisé :

\(\displaystyle{\exists M\in\mathbb R,\forall n\in\mathbb N\quad\vert u_n\vert\leq M}\)

Une suite non bornée se caractérise en écrivant la négation de la proposition précédente :

\(\displaystyle{\forall M\in\mathbb R,\exists n_0\in\mathbb N\quad\vert u_{n_0}\vert> M}\)

DéfinitionSuites stationnaires

Une suite réelle \((u_n)\) est stationnaire s'il existe un réel \(a\) et un entier \(n_0\) tels que, pour tout entier \(n\geq n_0\) , on ait \(u_n = a\).

Soit encore :

\(\displaystyle{}\exists a\in\mathbb R,\exists n_0\in\mathbb N,\forall n\geq n_0\quad u_n=a\).

DéfinitionSuites périodiques

Une suite réelle \((u_n)\) est périodique s'il existe un entier \(k \geq 1\) tel que, pour tout entier \(n\), on ait \(u_{n+k} = u_n\) .

Soit encore :

\(\displaystyle{\exists k\in\mathbb N^*,\forall n\in\mathbb N\quad u_{n+k}=u_n}\).

Exemple

Considérons les suites \((u_n) ,(v_n),(w_n),(t_n)\) définies respectivement par :

\(u_n=n^2+1,v_n=\cos\Big(\frac{n\pi}{6}\Big),w_n=\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt n}\) \((n\geq 2)\), \(t_n=\left[\frac{5}{n}\right]\) \((n\geq 1)\)\([ ]\) désigne la partie entière d'un réel.

Les suites \((v_n),(w_n)\) et \((t_n)\) sont bornées, la suite \((u_n)\) n'est pas bornée.

La suite \((t_n)\) est stationnaire : \(\displaystyle{\forall n\geq 6, t_n=0}\)

 La suite \((v_n)\) est périodique : \(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N\quad u_{n+12}=u_n}\)

Dans le cas de la suite \(\mathcal U\) définie par : \({\left\{\begin{array}{ll}u_0=2, &\\u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n} & \forall n\in\mathbb N\end{array}\right.}\)

on a \(u_0 = 2\), et la fonction \(\phi\) vérifiant :

\(\displaystyle{\forall x\in[1,2],1\leq\phi(x)\leq2}\)

car \(\displaystyle{\frac{1}{2}\leq\frac{x}{2}\leq1}\) et \(\displaystyle{\frac{1}{2}\leq\frac{1}{x}\leq1}\).

On en déduit : \(\forall n\geq 0,1\leq u_n\leq2\)

Quant à la suite \((u_n)\)\(u_n=\textrm{n-ième décimale de}\) \(\pi\) , elle est bornée mais non périodique; en effet, si \(x\) est un réel et si on note \(x_n=d_0,d_1d_2...d_n\) l'approximation décimale d'ordre \(n\) avec \(d_0\in\mathbb Z,d_i\in\{0,1......9\}\), alors les rationnels sont caractérisés par la périodicité de la suite \((d_n)\) .