Suites bornées, suites stationnaires, suites périodiques
Définition : Suites majorées, minorées, bornées

Une suite réelle est

  • majorée s'il existe un réel tel que, pour tout entier on ait

  • minorée s'il existe un réel tel que, pour tout entier on ait

  • bornée s'il existe un réel tel que, pour tout entier , on ait .

On traduit cette dernière propriété en langage formalisé :

Une suite non bornée se caractérise en écrivant la négation de la proposition précédente :

Définition : Suites stationnaires

Une suite réelle est stationnaire s'il existe un réel et un entier tels que, pour tout entier , on ait .

Soit encore :

.

Définition : Suites périodiques

Une suite réelle est périodique s'il existe un entier tel que, pour tout entier , on ait .

Soit encore :

.

Exemple

Considérons les suites définies respectivement par :

, désigne la partie entière d'un réel.

Les suites et sont bornées, la suite n'est pas bornée.

La suite est stationnaire :

 La suite est périodique :

Dans le cas de la suite définie par :

on a , et la fonction vérifiant :

car et .

On en déduit :

Quant à la suite , elle est bornée mais non périodique; en effet, si est un réel et si on note l'approximation décimale d'ordre avec , alors les rationnels sont caractérisés par la périodicité de la suite .

Légende :
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