Suites de référence

Suites géométriques

Les suites géométriques sont celles qui sont le plus fréquemment utilisées. (On parle de convergence géométrique.) On rappelle les résultats suivants (cf terminale).

Soit \((k^n)\) \((k\in\mathbb R)\) une suite géométrique.

Pour \(k > 1\) la suite \((k^n)\to+\infty\),

Exemple

Vous pouvez visualiser les points de la suite sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.

Pour \(k = 1\) la suite est constante et converge vers 1.

Pour \(\vert k\vert< 1\) la suite \((k^n)\) a pour limite 0.

Exemple

Vous pouvez visualiser les points de la suite sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.

pour \(k\leq-1\) la suite \((k^n)\) n'a pas de limite.

Exemple

Vous pouvez visualiser les points de la suite sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.

Suites puissances

On considère une suite \(\left(n^{\alpha}\right)_{n\geq 1}\) \((\alpha\in\mathbb R)\).

Pour \(\alpha>0\) la suite \(\left(n^{\alpha}\right)\) tend vers \(+\infty\).

Exemple

Vous pouvez visualiser les points de la suite sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.

Pour \(\alpha= 0\) la suite est constante et a pour limite 1.

Pour \(\alpha<0\) \(\left(n^{\alpha}\right)\) est convergente et a pour limite 0.

Séries géométriques

Les séries géométriques sont des suites \((s_n)\) définies par \(\displaystyle{s_n=\sum_{i=0}^nk^i\quad(k\in\mathbb R)}\).

On a \(\displaystyle{s_n=\left\{\begin{array}{ll}\frac{k^{n+1}-1}{k-1} & \textrm{ si }k\neq 1 , \\n+1 \textrm{ si } k = 1\end{array}\right.}\)

\((s_n)\) converge si et seulement si \(\vert k\vert< 1\), on a alors

\(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}s_n=\frac{1}{1-k}}\)

Exemple

Pour \(\displaystyle{k=\frac{1}{2}\quad s_n=\frac{\frac{1}{2}^{n+1}-1}{-\frac{1}{2}}}\):

Vous pouvez visualiser les points de la suite sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.

Exemple

Pour \(\displaystyle{k=2\quad s_n=2^{n+1}-1}\):

Vous pouvez visualiser les points de la suite sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.