Théorème de comparaison

Le théorème suivant montre la propriété dite de prolongement des inégalités : il exprime en effet que si deux suites convergentes sont comparables leurs limites vérifient la même inégalité.

Théorème

Soient et deux suites réelles vérifiant

  1. et

on a alors .

Preuve

Démonstration par l'absurde:

on suppose .

On choisit , ainsi les intervalles et sont disjoints.

Les conditions et entraînent :

On pose alors entraîne d'où la contradiction.

Remarque
  • Il suffit que les inégalités 1. soient vérifiées à partir d'un certain rang.

  • Si, dans la condition 1. on remplace l'inégalité large par une inégalité stricte la conclusion reste la même (inégalité large).

    Par exemple les suites et vérifient or on a

  • Dans le cas de suites tendant vers ou , si la condition 1. est vérifiée on ne peut conclure que dans les cas suivants :

    2'. si la suite tend vers alors la suite tend vers

    2". si la suite tend vers alors la suite tend vers .

Il est inutile d'insister sur l'intérêt du théorème suivant tant son usage est fréquent ! Ses dénominations (théorème sandwich ou théorème des gendarmes) résument bien la situation.

Théorème

Soient , et trois suites réelles vérifiant :

  1. ,

  2. ;

alors la suite converge et a pour limite .

Preuve

L'écriture de la convergence des suites et fait apparaître des rangs et . On considère .

En effet :

La condition 1. entraîne, pour tout :

.

La condition 2. entraine, pour tout :

D'où, en posant , l'inégalité entraîne

Légende :
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