Théorème de comparaison |
Le théorème suivant montre la propriété dite de prolongement des inégalités : il exprime en effet que si deux suites convergentes sont comparables leurs limites vérifient la même inégalité.
Soient
et
deux suites réelles vérifiant
et
on a alors
.
Démonstration par l'absurde:
on suppose
.
On choisit
, ainsi les intervalles
et
sont disjoints.
Les conditions
et
entraînent :
On pose
alors
entraîne
d'où la contradiction.
Il suffit que les inégalités 1. soient vérifiées à partir d'un certain rang.
Si, dans la condition 1. on remplace l'inégalité large par une inégalité stricte la conclusion
reste la même (inégalité large).
Par exemple les suites
et
vérifient
or on a
Dans le cas de suites tendant vers
ou
, si la condition 1. est vérifiée on ne peut conclure que dans les cas suivants :
2'. si la suite
tend vers
alors la suite
tend vers
2". si la suite
tend vers
alors la suite
tend vers
.
Il est inutile d'insister sur l'intérêt du théorème suivant tant son usage est fréquent ! Ses dénominations (théorème sandwich ou théorème des gendarmes) résument bien la situation.
Soient
,
et
trois suites réelles vérifiant :
,
;
alors la suite
converge et a pour limite
.
L'écriture de la convergence des suites
et
fait apparaître des rangs
et
. On considère
.
En effet :
La condition 1. entraîne, pour tout
:
.
La condition 2. entraine, pour tout
:
D'où, en posant
, l'inégalité
entraîne