Soient et deux suites réelles vérifiant

1. 

2. et

on a alors .

Démonstration par l'absurde:

on suppose .

On choisit , ainsi les intervalles et sont disjoints.

Les conditions et entraînent :

On pose alors entraîne d'où la contradiction.

• Il suffit que les inégalités 1. soient vérifiées à partir d'un certain rang.

• Si, dans la condition 1. on remplace l'inégalité large par une inégalité stricte la conclusion reste la même (inégalité large).

  Par exemple les suites et vérifient or on a

• Dans le cas de suites tendant vers ou , si la condition 1. est vérifiée on ne peut conclure que dans les cas suivants :

  2'. si la suite tend vers alors la suite tend vers

  2". si la suite tend vers alors la suite tend vers .

Soient , et trois suites réelles vérifiant :

1. ,

2. ;

alors la suite converge et a pour limite .

L'écriture de la convergence des suites et fait apparaître des rangs et . On considère .

En effet :

La condition 1. entraîne, pour tout :

.

La condition 2. entraine, pour tout :

D'où, en posant , l'inégalité entraîne