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Définitions

Il s'agit de donner une définition correspondant à la situation de l'exemple a. On considère un intervalle , non réduit à un point, de , un point de et une application de , noté , dans .

Définition : Définition 1

La fonction est prolongeable par continuité en s'il existe un réel tel que la fonction , définie par :

soit continue en .

La définition suivante est équivalente.

Définition : Définition 2

On dit que a une limite quand tend vers , s'il existe un réel tel que, quel que soit , il existe tel que, si appartient à et vérifie , on ait .

Soit en langage formalisé :

.

Il résulte immédiatement qu'une fonction qui a une limite quand tend vers est bornée au voisinage de ce point.

Une fonction qui n'a pas de limite en est caractérisée par la proposition :

C'est le cas dans l'exemple d. ainsi que dans l'exemple e. où la fonction est non bornée au voisinage de .

Proposition : Proposition - définition

Le nombre ainsi défini est unique. On dit que est la limite de quand tend vers .

Preuve

Soit une suite d'éléments de admettant pour limite; la suite est donc convergente et a pour limite , ce qui entraîne l'unicité de .

Notation

On écrit :

On dit également que est la limite de en .

Attention

comme pour les suites, on utilise le symbole seulement quand l'existence de la limite a été établie.

De la proposition précédente on déduit en particulier :

Théorème

Pour qu'une application de dans ait une limite quand tend vers , il faut et il suffit que, pour toute suite d'éléments de qui vérifie , la suite soit convergente.

Les suites ont alors toutes la même limite qui est celle de la fonction quand tend vers .

Remarque

La définition s'applique immédiatement dans le cas où est définie sur ; dans ce cas on a et est continue en .

Dans l'exemple c., n'a pas de limite quand tend vers , on aurait sinon . Mais, si l'on considère la restriction de à soit , alors a comme limite en , cela correspond au concept dit "limite quand tend vers , que l'on écrit :

.

On formalise ainsi ce concept :

.

On a donc introduit deux concepts de limite; on remarque qu'ils coïncident pour une application définie sur , ce qui est en fait le cas intéressant. Seul le premier concept est envisagé dans l'enseignement secondaire, c'est celui que nous utiliserons, les modifications pour passer à l'autre concept sont immédiates.

Le concept de limite s'étend sans difficulté quand tend vers , dans le cas d'une application d'un intervalle , voisinage de , dans .

Définition

On dit que la fonction a une limite quand tend vers , s'il existe un réel tel que, quel que soit , il existe tel que l'inégalité entraîne  .

Soit en langage formalisé :

;

on écrit .

Ainsi dans le cas de l'exemple e. on a .

On définit de même la limite d'une fonction quand tend vers .

Légende :
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