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Théorème de la limite monotone

Le théorème suivant est d'un grand intérêt pratique car il concerne de fait les fonctions monotones au voisinage d'un point. On en donne un énoncé et une démonstration relatifs à une situation donnée : intervalle ouvert et majoré, fonction croissante, point considéré borne supérieure de l'intervalle; il s'adapte sans difficulté aux autres situations.

Théorème

Soit un intervalle ouvert et majoré dont on note la borne supérieure, on considère une fonction définie et croissante sur .

  1. Si est majorée sur alors admet une limite en et

  2. Si n'est pas majorée sur , alors tend vers quand tend vers .

Preuve

1. repose sur la propriété de la borne supérieure dans et pour 2. la démonstration est analogue à celle sur les suites monotones.

  1. Si est majorée, l'image est une partie non vide majorée de , elle admet donc une borne supérieure dans .

    Soit ; il existe tel que .

    La fonction étant croissante sur on a, pour vérifiant

    .

    On note , on a :

  2. Si n'est pas majorée; soit , il existe tel que .

    La fonction étant croissante on a, pour .

    On note , on a :

    .

    On notera, une fois encore, la grande analogie avec le théorème des suites monotones.

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