Limite et opérations

La définition de la limite entraîne immédiatement le théorème suivant; on l'exprime dans le cas de fonctions définies au voisinage d'un point \(x_0\), mais les conclusions restent les mêmes quand \(x\) tend vers \(+\infty\textrm{ ou }-\infty\).

ThéorèmeOpérations algébriques

Si \(f\) et \(g\) ont pour limite respective, quand \(x\) tend vers \(x_0,l_1\textrm{ et }l_2\) alors, dans ces conditions,

  • \(f+g\) a une limite qui est \(l_1+l_2\),

  • \(fg\) a une limite qui est \(l_1l_2\),

  • si \(\displaystyle{l_2\neq0, \frac{f}{g}}\) a une limite qui est \(\displaystyle{\frac{l_1}{l_2}}\).

Comme pour les suites les opérations sur les limites s'étendent dans certains cas aux fonctions tendant vers \(+\infty\textrm{ ou }-\infty\).

On ne peut donner de conclusions générales dans les cas suivants :

  • pour \(f+g\) quand \(f(x)\to+\infty\), et \(g(x)\to-\infty\),

  • pour \(fg\) quand \(f(x)\to+\infty\textrm{ ou }-\infty\), et \(\lim g(x)=0\),

  • pour \(\displaystyle{\frac{f}{g}}\) quand \(f(x)\to+\infty\textrm{ ou }-\infty\), et \(g(x)\to+\infty\textrm{ ou }-\infty\)

  • ou \(\lim f(x)=0 \textrm{ et }\lim g(x)=0\).

Ces deux derniers cas sont liés car

\(\displaystyle{\lim f(x)=0\Rightarrow\frac{1}{\vert f(x)\vert}\to+\infty}\) , mais...

Attention

Pour que l'on ait \(f(x)\to+\infty\) ou \(f(x)\to-\infty\) il faut que \(f(x)\) garde un signe constant.

Exercice

Donner, avec des fonctions simples, des exemples de "formes indéterminées" aboutissant à des résultats différents (on prendra par exemple la fonction \(f : x\mapsto x\)).

ThéorèmeComposition des applications

Soit \(f\) et \(g\) des fonctions définies respectivement sur \(I\quad(\textrm{ou }I \setminus\{x_0\}) \textrm{ et }J\quad(\textrm{ou }J\setminus \{m\})\).

On suppose que \(f(I)\subset J\). Si \(f\) a une limite \(m\) quand \(x\) tend vers \(x_0\) et si \(g\) a une limite \(l\) quand \(u\) tend vers \(m\), alors \(gof\) a une limite quand \(x\) tend vers \(x_0\) et

\(\displaystyle{\lim_{x\to x_0}gof(x)=l}\).

Preuve

La démonstration est immédiate à partir de celle relative à la continuité.

Remarque

On ne peut donner un tel énoncé pour le concept de limite quand \(x\to x_0, x\neq x_0\) ; considérons en effet les fonctions \(f_3 \textrm{ et }f_4\), vues dans les exemples c. et d. du paragraphe 1.4., au voisinage de \(0\), elles ont alors toutes les deux une limite quand \(x\to0, x\neq0\) : on a en effet \(\displaystyle{\lim_{x\to0,x\neq0}f_3(x)=0,\textrm{ et }\lim_{x\to0,x\neq0}f_4(x)=0}\). Considérons maintenant la fonction \(f_3of_4\) au voisinage de \(0\). On a, alors :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}f_3of_4\bigg(\frac{1}{k\pi}\bigg)=1&\textrm{si }x=\frac{1}{k\pi}\\f_3of_4(x)=0 &\textrm{si }x\ne\frac{1}{k\pi}\end{array}\right.}\)

Tout voisinage de \(0\) contient des réels de la forme \(\displaystyle{\frac{1}{k\pi}}\) et des réels qui ne sont pas de cette forme; ainsi sur tout voisinage épointé de \(0\) la fonction\( f_3of_4\) prend les valeurs \(0 \textrm{ et }1\); elle ne peut donc admettre de limite quand \(x\to0, x\neq0\). En fait si l'on considère les restrictions de \(f_3 \textrm{ et }f_4 \textrm{ à }\mathbb R^*\) on a : \(f_4(\mathbb R^*) \nsubset\mathbb R^*\). C'est ce point relatif à la composition des applications qui a, du reste, conduit à privilégier le concept de limite quand \(x\to x_0\).