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Limite et opérations

La définition de la limite entraîne immédiatement le théorème suivant; on l'exprime dans le cas de fonctions définies au voisinage d'un point , mais les conclusions restent les mêmes quand tend vers .

Théorème : Opérations algébriques

Si et ont pour limite respective, quand tend vers alors, dans ces conditions,

  • a une limite qui est ,

  • a une limite qui est ,

  • si a une limite qui est .

Comme pour les suites les opérations sur les limites s'étendent dans certains cas aux fonctions tendant vers .

On ne peut donner de conclusions générales dans les cas suivants :

  • pour quand , et ,

  • pour quand , et ,

  • pour quand , et

  • ou .

Ces deux derniers cas sont liés car

, mais...

Attention

Pour que l'on ait ou il faut que garde un signe constant.

Exercice

Donner, avec des fonctions simples, des exemples de "formes indéterminées" aboutissant à des résultats différents (on prendra par exemple la fonction ).

Théorème : Composition des applications

Soit et des fonctions définies respectivement sur .

On suppose que . Si a une limite quand tend vers et si a une limite quand tend vers , alors a une limite quand tend vers et

.

Preuve

La démonstration est immédiate à partir de celle relative à la continuité.

Remarque

On ne peut donner un tel énoncé pour le concept de limite quand ; considérons en effet les fonctions , vues dans les exemples c. et d. du paragraphe 1.4., au voisinage de , elles ont alors toutes les deux une limite quand : on a en effet . Considérons maintenant la fonction au voisinage de . On a, alors :

Tout voisinage de contient des réels de la forme et des réels qui ne sont pas de cette forme; ainsi sur tout voisinage épointé de la fonction prend les valeurs ; elle ne peut donc admettre de limite quand . En fait si l'on considère les restrictions de on a : . C'est ce point relatif à la composition des applications qui a, du reste, conduit à privilégier le concept de limite quand .

Légende :
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