Limite et ordre
Comme dans le paragraphe précédent on exprime les théorèmes dans le cas de fonctions définies au voisinage d'un point \(x_0\), mais les conclusions restent les mêmes quand \(x\) tend vers \(+\infty\textrm{ ou }-\infty\).
Comme pour les suites on montre qu'il y a "prolongement des inégalités" et on démontre un théorème d'encadrement.
Théorème :
Si \(f \textrm{ et }g\) ont pour limite respective, quand \(x\) tend vers \(x_0, l_1\textrm{ et }l_2\) et si \(f \textrm{ et }g\) vérifient au voisinage de \(x_0\)
\(f(x)\leq g(x)\)
alors on a \(l_1\leq l_2\).
Preuve :
Par l'absurde,
On suppose \(l_2< l_1\) et on note \(\mathcal V^*\) un voisinage épointé de \(x_0\) tel que l'inégalité \(f(x)\leq g(x)\) soit vérifiée pour \(x\) appartenant à \(\mathcal V^*\). On pose \(\displaystyle{\epsilon=\frac{l_2-l_1}{2}}\), on a :
\(\displaystyle{\exists\eta_1,\forall x\in\mathcal V^*\quad(\vert x-x_0\vert<\eta_1\Rightarrow\vert f(x)-l_1\vert<\epsilon)}\)
\(\displaystyle{\exists\eta_2,\forall x\in\mathcal V^*\quad(\vert x-x_0\vert<\eta_2\Rightarrow\vert f(x)-l_2\vert<\epsilon)}\)
On pose \(\eta=\min(\eta_1,\eta_2)\) on a :
\(\displaystyle{\forall x\in\mathcal V^*\quad(\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow g(x)< l_2+\epsilon\leq l_1-\epsilon< f(x))}\)
D'où la contradiction.
Remarque :
D'une part ce théorème ne présente de l'intérêt que dans le cas de fonctions non définies en \(x_0\) ;
d'autre part, comme dans le cas des suites, par passage à la limite, les inégalités strictes deviennent larges.
Théorème :
Soient \(f, g \textrm{ et }h\) des fonctions vérifiant au voisinage de \(x_0\)
\(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\);
on suppose que \(f \textrm{ et }h\) ont une même limite \(l\) quand \(x\) tend vers \(x_0\) ;
la fonction \(g\) a alors, quand \(x\) tend vers \(x_0\), une limite égale à \(l\) .
Preuve :
Elle repose sur l'écriture symbolique de la limite de \(f\textrm{ et }h\).
On note \(\mathcal V^*\) un voisinage épointé de \(x_0\) tel que les inégalités \(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\) soient vérifiées pour \(x\) appartenant à \(\mathcal V^*\).
Soit \(\epsilon>0\); les fonctions \(f \textrm{ et }h\) ayant, quand \(x\) tend vers \(x_0\), une limite égale à \(l\),on a :
\(\displaystyle{\exists\eta_1>0,\forall x\in\mathcal V^*(\vert x-x_0\vert<\eta_1\Rightarrow\vert f(x)-l\vert<\epsilon)}\)
\(\displaystyle{\exists\eta_2>0,\forall x\in\mathcal V^*(\vert x-x_0\vert<\eta_2\Rightarrow\vert h(x)-l\vert<\epsilon)}\)
On pose \(\eta=\min(\eta_1,\eta_2)\), on a alors:
\(\displaystyle{\forall x\in\mathcal V^*\quad(\vert x-x_0\vert<\eta\Leftrightarrow-\epsilon< f(x)-l< g(x)-l< h(x)-l<\epsilon)}\)
La fonction \(g\) a donc, quand \(x\) tend vers \(x_0\) une limite qui est égale à \(l\).
Complément : Illustration
Le premier écran montre les graphes des fonctions \(\displaystyle{x\to x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\) (en rouge), \(x\to-x^2\) et \(x\to x^2\) dans une fenêtre où \(x\) varie de \(-1 \textrm{ à }+1 \textrm{ et }y \textrm{ varie de }-1 \textrm{ à }+1\). L'animation consiste à ‘zoomer', c'est à dire à réduire l'intervalle affiché de façon à voir de plus en plus gros les détails, jusqu'à arriver à une fenêtre de largeur \(0 ,1\).