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Limite et ordre

Comme dans le paragraphe précédent on exprime les théorèmes dans le cas de fonctions définies au voisinage d'un point , mais les conclusions restent les mêmes quand tend vers .

Comme pour les suites on montre qu'il y a "prolongement des inégalités" et on démontre un théorème d'encadrement.

Théorème

Si ont pour limite respective, quand tend vers et si vérifient au voisinage de

alors on a .

Preuve

Par l'absurde,

On suppose et on note un voisinage épointé de tel que l'inégalité soit vérifiée pour appartenant à . On pose , on a :

On pose on a :

D'où la contradiction.

Remarque

D'une part ce théorème ne présente de l'intérêt que dans le cas de fonctions non définies en ;

d'autre part, comme dans le cas des suites, par passage à la limite, les inégalités strictes deviennent larges.

Théorème

Soient des fonctions vérifiant au voisinage de

;

on suppose que ont une même limite quand tend vers ;

la fonction a alors, quand tend vers , une limite égale à .

Preuve

Elle repose sur l'écriture symbolique de la limite de .

On note un voisinage épointé de tel que les inégalités soient vérifiées pour appartenant à .

Soit ; les fonctions ayant, quand tend vers , une limite égale à ,on a :

On pose , on a alors:

La fonction a donc, quand tend vers une limite qui est égale à .

Complément : Illustration

Le premier écran montre les graphes des fonctions (en rouge), et dans une fenêtre où varie de . L'animation consiste à ‘zoomer', c'est à dire à réduire l'intervalle affiché de façon à voir de plus en plus gros les détails, jusqu'à arriver à une fenêtre de largeur .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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