Exercice 1

Durée : 7 mn

Note maximale : 8

Question

Traduire en langage formalisé (en utilisant les quantificateurs) les propriétés suivantes :

  1. \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\sqrt{x}~\ln~x=0}\),

  2. \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2e^{-x}=0}\),

  3. La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{e^x}{x^5}}\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) .

  4. La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{x}{x+1}}\) est bornée sur l'intervalle \([0 ,+\infty[\),

  5. La fonction \(x\mapsto e^x\sin~x\) n'est pas bornée,

  6. La fonction cosinus n'a pas de limite à l'infini .

Solution

  1. \(\forall\epsilon>0,~\exists\eta>0,~\forall x>0~(x<\eta~\Rightarrow~|\sqrt x~\ln~x|<\epsilon)\)

    [1 point]

  2. \(\forall\epsilon>0, \exists B>0,~\forall x\in\mathbb R~(x>B~\Rightarrow|x^2e^{-x}|<\epsilon)\)

    [1 point]

    (Remarque : la fonction \(x\mapsto x^2e^{-x}\) étant à valeurs positives les inégalités \(|x^2e^{-x}|<\epsilon\) et \(x^2e^{-x}<\epsilon\) sont alors équivalentes).

  3. \(\displaystyle{\forall A>0,~\exists B>0,~\forall x\in\mathbb R~~\left(x>B\Rightarrow\frac{e^x}{x^5}>A\right)}\)

    [1 point]

  4. \(\displaystyle{\exists M\in\mathbb R, \forall x\in[0,+\infty[, \left|\frac{x}{x+1}\right|\le M}\)

    [1 point]

  5. \(\displaystyle{\forall M\in\mathbb R,\exists x\in\mathbb R,|e^x\sin~x|>M}\)

    [2 points]

  6. \(\forall l\in\mathbb R,~\exists\epsilon>0,~\forall B\in\mathbb R,~\exists x\in\mathbb R~~(x>B \textrm{ et } |\cos~x-l|\ge\epsilon)\)

    [2 points]