Exercice 4

Durée : 8 mn

Note maximale : 8

Question

Les fonctions suivantes sont-elles, au point \(x_0\)

  • dérivables à droite

  • dérivables à gauche

  • dérivables ?

  1. \(\displaystyle{f_1 : \forall x\ne0,~f_1(x)=x\sin~\left(\frac{1}{\sqrt{|x|}}\right),~f_1(0)=0, ~x_0=0}\)

  2. \(f_2 : \forall x,~f_2(x)=|x^3-4x|, x_0=-2,0,2\)

  3. \(\displaystyle{f_3 :\forall x\ne0,~f_3(x)=\ln~\left(1+e^{-1/x^2}\right),~f_3(0)=0,~x_0=0}\)

Solution

  1. L'inégalité \(\forall x\in\mathbb R^*~~|f(x)|\le|x|\) entraîne la continuité de \(f\) en 0. En revanche l'égalité \(\displaystyle{\frac{f(x)}{x}=\sin~\left(\frac{1}{\sqrt{|x|}}\right)}\) entraîne que la fonction n'est dérivable ni à droite, ni à gauche et donc pas dérivable en 0.

    [2 points]

  2. On a

    \(\forall x\in]-\infty,-2]\bigcup[0,2] :f(x)=4x-x^3\)

    \(\forall x\in[-2,0]\bigcup[2,+\infty] :f(x)=x^3-4x\)

    La fonction est donc dérivable à droite et à gauche en chacun des points considérés, on a :

    \(f_g'(-2)=-8,~f_d'(-2)=8\)

    \(f_g'(0)=-4,~f_d'(0)=4\)

    \(f_g'(2)=-8,~f_d'(2)=8\)

    La fonction n'est donc dérivable en aucun des points considérés.

    [3 points]

  3. On étudie le rapport \(\displaystyle{\frac{\ln~\left(1+e^{-1/x^2}\right)}{x}=\frac{\ln~\left(1+e^{-1/x^2}\right)}{e^{-1/x^2}}\frac{e^{-1/x^2}}{x}}\), l'égalité \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln~\left(1+e^{-1/x^2}\right)}{e^{-1/x^2}}=1}\) entraîne alors \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln~\left(1+e^{-1/x^2}\right)}{x}=0}\) ;

    La fonction est donc dérivable en \(0\) .

    [3 points]