Exercice 3
Durée : 15 mn
Note maximale : 12
Question
Déterminer les limites suivantes :
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}(1-\sin~x)\tan~x}\)
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1-\cos~x)\ln~(1+x)}{\sin~x\tan^2x}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln~\left(\frac{x+a}{x+b}\right)}{\sin~\left(\frac{x+a}{x^2+b^2}\right)}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{(\sin~x)^x-1}{x^x-1}}\)
(on pourra commencer par montrer les égalités : \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}x\ln~\sin x=0}\) et \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln~\sin x}{\ln x}=1}\).)
Solution
Réponse : 0
Démonstration :
Forme indéterminée : \(0\times\infty\)
On pose \(\displaystyle{h=x-\frac{\pi}{2}}\), on est donc amené à étudier la fonction \(\displaystyle{h\mapsto-\frac{1-\cos~h}{\tan~h}}\) pour \(h\rightarrow0\).
On l'écrit : \(\displaystyle{\frac{1-\cos~h}{h^2}\frac{h}{\tan~h}h}\) ; le premier terme tend vers \(\displaystyle{\frac{1}{2}}\), le second vers \(1\), le troisième vers \(0\).
Autre méthode : \(\displaystyle{-\frac{1-\cos~h}{\tan~h}=-\frac{2\sin^2\left(\frac{h}{2}\right)\cos~h}{2\sin~\left(\frac{h}{2}\right)\cos~\left(\frac{h}{2}\right)}=-\tan~\left(\frac{h}{2}\right)\cos~h}\).
[2 points]
Réponse : \(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)
Démonstration :
Forme indéterminée \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\).
On écrit \(\displaystyle{\frac{1-\cos x}{x^2}\frac{\ln~(1+x)}{x}\frac{x}{\sin~x}\left(\frac{x}{\tan~x}\right)^2}\).
On a quatre facteurs, le premier a pour limite \(\displaystyle{\frac{1}{2}}\), les autres \(1\).
[2 points]
Réponse : a -b
Démonstration :
Forme indéterminée \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\).
On écrit : \(\displaystyle{\ln~\frac{x+a}{x+b}=\ln~\left(1+\frac{a-b}{x+b}\right)}\) et \(\displaystyle{\sin~\left(\frac{x+a}{x^2+b^2}\right)=\sin~\left(\frac{1}{x}\frac{1+\frac{a}{x}}{1+\frac{b}{x^2}}\right)}\).
On a donc à étudier une expression de la forme : \(\displaystyle{\frac{\ln~(1+u)}{\sin v}}\) avec \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}u=0}\) et \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}v=0}\)
En écrivant alors la fonction sous la forme \(\displaystyle{\frac{\ln~(1+u)}{u}\times\frac{v}{\sin~v}\times\frac{u}{v}}\), on a un produit de trois facteurs, les deux premiers ont pour limite \(1\) et le troisième a pour limite \(a-b\).
[4 points]
Réponse : 1
Démonstration :
Numérateur et dénominateur se présentent sous la forme \(0^0 -1\).
On a \(\displaystyle{x\ln~(\sin x)=x\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)-x\ln~x}\) ; quand \(x\) tend vers \(0\) les deux termes ont pour limite \(0\).
Pour montrer la seconde égalité on étudie la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{\ln~(\sin x)-\ln~x}{\ln~x}}\), qui s'écrit : \(\displaystyle{\frac{\ln\frac{\sin x}{x}}{\ln~x}}\), sous cette forme la limite \(0\) est évidente et \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln~\sin x}{\ln~x}=1}\)
La fonction étudiée s'exprime alors sous la forme : \(\displaystyle{\frac{e^{x\ln~(\sin x)}-1}{e^{x\ln~x}-1}=\frac{e^{x\ln~(\sin x)}-1}{x\ln~(\sin x)}\times\frac{x\ln~x}{e^{x\ln~x}-1}\times\frac{x\ln~(\sin x)}{x\ln~x}}\)
Les trois facteurs ont pour limite \(1\).
[4 points]