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Exemple

On cherche à calculer avec et entier positif quelconque. On va essayer de trouver une formule de récurrence.

On commence par calculer . On a .

Ce n'est pas suffisant pour " deviner " la formule, par conséquent on continue et on calcule . On a . Alors l'observation de ces premières puissances permet de penser que la formule est :

.

On va démontrer ce résultat par récurrence.

Il est vrai pour ; on le suppose vrai pour un entier et on va le démontrer pour l'entier .

On a d'après la définition :

.

Donc la propriété est démontrée.

Remarque

Ce n'est pas toujours simple de calculer la puissance d'une matrice car la formule de récurrence n'est pas toujours aussi apparente que dans l'exemple qui vient d'être traité. Il existe des méthodes plus systématiques, mais qui sortent du cadre de ce cours.

Légende :
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