Matrices carrées

On cherche à calculer \(\mathcal A^p\) avec \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) et \(p\) entier positif quelconque. On va essayer de trouver une formule de récurrence.

On commence par calculer \(\mathcal A^2\). On a \(\mathcal A^2=\left(\begin{array}{cccccc}1&2\\0&1\end{array}\right)\).

Ce n'est pas suffisant pour " deviner " la formule, par conséquent on continue et on calcule \(\mathcal A^3\). On a \(\mathcal A^3=\mathcal A^2\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&2\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&3\\0&1\end{array}\right)\). Alors l'observation de ces premières puissances permet de penser que la formule est :

\(\mathcal A^p=\left(\begin{array}{cccccc}1&p\\0&1\end{array}\right)\).

On va démontrer ce résultat par récurrence.

Il est vrai pour \(p=0\) ; on le suppose vrai pour un entier \(k\) et on va le démontrer pour l'entier \(k+1\).

On a d'après la définition :

\(\mathcal A^{k+1}=\mathcal A^k\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&k\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&1+k\\0&1\end{array}\right)\).

Donc la propriété est démontrée.