Critère d'inversibilité

On va commencer par trouver une propriété caractéristique de l'inversibilité d'une matrice. Soit n un entier supérieur ou égal à une matrice carrée d'ordre . En réduisant cette matrice par les transformations élémentaires, on peut dire qu'il existe un entier r et deux matrices carrées d'ordre et telles que :

  • et sont des produits de matrices élémentaires d'ordre .

  • Le théorème suivant donne une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que la matrice soit inversible.

Théorème : Critère d'inversibilité

Soit n un entier supérieur ou égal à , et une matrice carrée d'ordre .

Une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice soit inversible est que soit égal à (avec les notations précédentes).

Preuve

Supposons que . Alors, on a la relation . Or les matrices élémentaires sont inversibles, donc aussi et .

Donc l'égalité précédente implique immédiatement l'égalité . Donc la matrice est inversible en tant que produit de matrices inversibles.

Réciproquement : Supposons inversible. Si est strictement inférieur à , les matrices vérifient donc l'égalité . Comme sont inversibles (voir ci-dessus), la matrice est aussi inversible. Ceci est absurde. En effet, le produit, par exemple à droite, de la matrice par n'importe quelle matrice carrée d'ordre , aura ses dernières lignes nulles et ne pourra donc pas être égal à la matrice unité.

Corollaire

Si est inversible et si avec et produit de matrices élémentaires, l'inverse de est donné par la formule : .

Cela résulte immédiatement de l'égalité et des propriétés de l'inverse d'un produit. Une méthode algorithmique pour calculer et existe, donc ce résultat donne une méthode pratique pour calculer explicitement l'inverse d'une matrice.

Il y en a une autre, plus algorithmique et en général plus courte.

Légende :
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